Задача №4: Тело движется по окружности радиусом 1 метр со скоростью, увеличивающейся на 0,5 м/с каждую секунду. Через какое время тело сделает полный оборот, если начальная…

Решение задачи (цель — понять).

Данные:

• Радиус траектории r = 1 м
• Начальная скорость v0 = 1 м/с
• Скорость растет линейно со временем: dv/dt = 0,5 м/с^2 (постоянное ускорение по скорости)
• Нужно время t, через которое пройден полный оборот: угол θ = 2π рад

Шаги решения:

1. Связь скорости и углового движения

   • Тангенциальная скорость v = r · ω, откуда ω = v / r.
   • Угловое ускорение α = dω/dt = (dv/dt) / r = 0,5 / 1 = 0,5 рад/с^2.

2. Начальные угловые параметры

   • Начальная угловая скорость ω0 = v0 / r = 1 / 1 = 1 рад/с.

3. Промежуточное выражение для угла

   • θ(t) = ∫ ω dt = ω0 t + (1/2) α t^2 = 1 · t + (1/2) · 0,5 · t^2 = t + 0,25 t^2.

4. Условие полного оборота

   • θ(t) = 2π → t + 0,25 t^2 = 2π.
   • Приведем к стандартному виду: 0,25 t^2 + t − 2π = 0.

5. Решение квадратного уравнения

   • Пусть a = 0,25, b = 1, c = −2π.
   • Дискриминант Δ = b^2 − 4ac = 1 − 4·0,25·(−2π) = 1 + 2π.
   • Корни: t = [−b ± sqrt(Δ)] / (2a) = [−1 ± sqrt(1 + 2π)] / 0,5 = 2(−1 ± sqrt(1 + 2π)).
   • Положительный корень: t = −2 + 2 sqrt(1 + 2π).

6. Численное значение

   • t ≈ −2 + 2 · sqrt(1 + 2π) ≈ −2 + 2 · 2,699 ≈ 3,40 секунд.

Ответ: тело совершит полный оборот примерно за 3,40 секунд.
Примечание: можно проверить приблизительно среднюю угловую скорость и интеграл: в конце движения ω ≈ v / r ≈ 2,7 рад/с, средняя ≈ ~1,85 рад/с, умножив на время даёт θ ≈ 2π.