Задача 3. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если AD=4 м, ВС =7…

Задача решается через координатный подход и свойства перпендикулярных плоскостей.

1. Пусть две плоскости пересекаются по прямой l. Пусть C и D — проекции A и B на l соответственно, то есть AC ⟂ l и BD ⟂ l. Обозначим:

• A = (a, y, z), C = (a, 0, 0);
• B = (b, p, q), D = (b, 0, 0).

2. По условию AD и CD:

• AD^2 = (a − b)^2 + y^2 + z^2.
• CD = |a − b|, значит CD^2 = (a − b)^2.
• Отсюда AC^2 = AD^2 − CD^2 = 16 − 1 = 15.

3. По условию BC и CD:

• BC^2 = (b − a)^2 + p^2 + q^2.
• BD^2 = p^2 + q^2.
• Отсюда BD^2 = BC^2 − CD^2 = 49 − 1 = 48.

4. Площины P1 и P2 перпендикулярны друг к другу. Тогда векторы, лежащие в них и перпендикулярные к линии пересечения l, также образуют угол 90°. То есть векторы AC = (0, y, z) и BD = (0, p, q) взаимно перпендикулярны:

• yp + zq = 0.

5. Найдём AB^2: AB^2 = (a − b)^2 + (y − p)^2 + (z − q)^2 = (a − b)^2 + (y^2 + z^2) + (p^2 + q^2) − 2(yp + zq).

Используем полученные данные:

• (a − b)^2 = CD^2 = 1,
• y^2 + z^2 = AC^2 = 15,
• p^2 + q^2 = BD^2 = 48,
• yp + zq = 0.

Тогда AB^2 = 1 + 15 + 48 − 0 = 64, следовательно AB = 8.

Ответ: AB = 8 м.