Задача 3. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если AD=4 м, ВС =7 м, CD =1 м.

Задача решается через координатный подход и свойства перпендикулярных плоскостей. 1) Пусть две плоскости пересекаются по прямой l. Пусть C и D — проекции A и B на l соответственно, то есть AC ⟂ l и BD ⟂ l. Обозначим: - A = (a, y, z), C = (a, 0, 0); - B = (b, p, q), D = (b, 0, 0). 2) По условию AD и CD: - AD^2 = (a − b)^2 + y^2 + z^2. - CD = |a − b|, значит CD^2 = (a − b)^2. - Отсюда AC^2 = AD^2 − CD^2 = 16 − 1 = 15. 3) По условию BC и CD: - BC^2 = (b − a)^2 + p^2 + q^2. - BD^2 = p^2 + q^2. - Отсюда BD^2 = BC^2 − CD^2 = 49 − 1 = 48. 4) Площины P1 и P2 перпендикулярны друг к другу. Тогда векторы, лежащие в них и перпендикулярные к линии пересечения l, также образуют угол 90°. То есть векторы AC = (0, y, z) и BD = (0, p, q) взаимно перпендикулярны: - yp + zq = 0. 5) Найдём AB^2: AB^2 = (a − b)^2 + (y − p)^2 + (z − q)^2 = (a − b)^2 + (y^2 + z^2) + (p^2 + q^2) − 2(yp + zq). Используем полученные данные: - (a − b)^2 = CD^2 = 1, - y^2 + z^2 = AC^2 = 15, - p^2 + q^2 = BD^2 = 48, - yp + zq = 0. Тогда AB^2 = 1 + 15 + 48 − 0 = 64, следовательно AB = 8. Ответ: AB = 8 м.