"Решите уравнение logx-181=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них."

Окей, давай разберёмся дружелюбно и четко.

Что говорят задаче

• Уравнение: log base (x-1) of 81 equals 2. То есть log_{x-1}(81) = 2.
• Требования по домену: основания логарифма должны быть положительными и не равны 1, аргумент логарифма должен быть положительным. То есть:
  • x-1 > 0 и x-1 ≠ 1 → x > 1 и x ≠ 2.
  • 81 > 0 уже удовлетворено.

Решение

• Из логарифмического равенства следует: (x-1)^2 = 81. Потому что a^c = b при c=2 даёт a^2=b, где a = x-1, b=81.
• Решаем: x-1 = 9 или x-1 = -9.
  • Если x-1 = 9 -> x = 10.
  • Если x-1 = -9 -> x = -8.
• Проверяем домен:
  • Для x = 10: база x-1 = 9 > 0 и ≠ 1, всё ок.
  • Для x = -8: база x-1 = -9, база логарифма не может быть отрицательной в вещественных логарифмах, значит это решение не подходит.
• Таким образом, единственное допустимое решение: x = 10.

Где твоя ошибка

• Ты взял только корень -8, но он нарушает условие домена: база логарифма должна быть положительной и не равной 1. В реальных числах логарифм с отрицательной базой не определён, поэтому -8 не подходит.
• В таких задачах важно сначала учесть домен, а уже потом решать уравнение. Иногда квадратирование или возведение в степень дают два решения, но одно из них может оказаться недопустимым из-за домена.

Коротко по шагам, чтобы запомнить

1. Запиши домен: x > 1 и x ≠ 2.
2. Преобразуй уравнение: (x-1)^2 = 81.
3. Найди потенциальные корни: x = 10 и x = -8.
4. Отфильтруй по домену: оставь только x = 10.
5. Ответ: 10.

Если хочешь, могу ещё привести краткий аналоговый пример с другим основанием, чтобы закрепить идею домена. А пока поставь лайк или дизлайк, чтобы я знал, что тебе помогло.