Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую…

Задача: два автомобиля выехали одновременно из A в B. Первый едет со скоростью v и весь путь проходит за одно время. Второй за первую половину пути едет со скоростью 30 км/ч, за вторую половину — со скоростью на 28 км/ч больше скорости первого, то есть v+28. Они прибывают одновременно. Найдите v.

Пошаговое решение:

1. Обозначим общую длину пути как D.

   • Первый автомобиль: время t1 = D / v.
   • Второй автомобиль: за первую половину пути D/2 со скоростью 30 км/ч, время равно (D/2) / 30 = D / 60.
     За вторую половину D/2 со скоростью v+28, время равно (D/2) / (v+28) = D / (2(v+28)). Общее время второго = t2 = D/60 + D/(2(v+28)).

2. Так как они прибывают одновременно, t1 = t2: D / v = D / 60 + D / (2(v+28)).

3. Упростим, поделив на D (D > 0): 1 / v = 1 / 60 + 1 / (2(v+28)).

4. Раскроем и решим уравнение относительно v. Умножим обе стороны на 60·2·(v+28) = 120(v+28): 120(v+28)/v = 2(v+28) + 60 = 2v + 116. Затем умножим на v: 120(v+28) = v(2v + 116) = 2v^2 + 116v. Приведём к квадратному уравнению: 2v^2 + 116v − 120v − 3360 = 0 → 2v^2 − 4v − 3360 = 0. Разделим на 2: v^2 − 2v − 1680 = 0.

5. Найдём корни квадратного уравнения: Дискриминант Δ = (-2)^2 − 4·1·(-1680) = 4 + 6720 = 6724.
   √Δ = 82.
   v = [2 ± 82] / 2 → v = 42 или v = -40.
   Скорость не может быть отрицательной, значит v = 42 км/ч.

Проверка: при v = 42 км/ч второй едет D/2 на скорости 30 км/ч (время D/60) и D/2 на скорости 42+28 = 70 км/ч (время D/(2·70) = D/140).
Сумма времен второго: D/60 + D/140 = D(7/420 + 3/420) = D·(10/420) = D/42 = t1. Всё согласуется.

Ответ: 42 км/ч.