Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту о = 15°. Масса бруска т = 1 кг. В момент времени…
Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту о = 15°. Масса бруска т = 1 кг. В момент времени t = 0 с брусок отпускают и при этом к нему прикладывают силу, которая направлена вверх параллельно наклонной плоскости. Зависимость модуля силы от времени описывается формулой F = Bt, где = 0.4 H/с. Ускорение свободного падения примите равным д = 10 м/с2.
Разберём задачу по шагам.
Дано:
- Масса бруска m = 1 кг.
- Угол наклона к горизонту θ = 15°.
- Упруг/гладкая наклонная поверхность без трения.
- Сила вдоль наклонной F(t) = B t, где B = 0.4 Н/с.
- g = 10 м/с².
- В момент t = 0 брусок отпускают, начальная скорость вдоль наклонной v(0) = 0.
- Направление положительно вверх по наклонной плоскости.
- Найдём ускорение a(t) Одна сила вдоль наклонной – приложенная F(t) вверх, другая – сила тяжести вдоль плоскости вниз, равная m g sinθ. Используем второй закон along plane: m a = F(t) − m g sinθ.
Следовательно: a(t) = F(t)/m − g sinθ = (B/m) t − g sinθ.
Подставим данные:
- g sinθ = 10 · sin(15°). sin(15°) ≈ 0.258819, поэтому g sinθ ≈ 2.588 м/с².
- B/m = 0.4 / 1 = 0.4.
Значит: a(t) = 0.4 t − 2.588 м/с².
Пояснение: при t < t0 ускорение направлено вниз (отрицательно по нашей системе), при t > t0 — вверх, где t0 определяется как момент, когда F(t) = m g sinθ: t0 = (m g sinθ)/B ≈ 2.588 / 0.4 ≈ 6.47 с.
- Найдём скорость v(t) и положение s(t) Используем начальные условия v(0) = 0, s(0) = 0 и интегрируем по времени.
Скорость: v(t) = ∫ a(t) dt = ∫ (0.4 t − 2.588) dt = 0.2 t² − 2.588 t + C. Поскольку v(0) = 0, C = 0. Получаем: v(t) = 0.2 t² − 2.588 t (м/с).
Перемещение вдоль наклонной: s(t) = ∫ v(t) dt = ∫ (0.2 t² − 2.588 t) dt = (0.2/3) t³ − (2.588/2) t² + C. С учетом s(0) = 0, C = 0. Таким образом: s(t) = 0.0666667 t³ − 1.294 t² (м).
- Кратко численно проиллюстрируем поведение
Ускорение: a(t) = 0.4 t − 2.588 м/с². t0 ≈ 6.47 с — в этот момент ускорение обращается в противоположную сторону (свободное ускорение становится вверх по наклонной).
Скорость: v(t) = 0.2 t² − 2.588 t.
нулевое пересечение скорости кроме t = 0: t = 2.588 / 0.2 ≈ 12.94 с. Значит к моменту примерно t ≈ 12.94 с скорость становится нулевой и затем начинает расти вверх (при дальнейшем увеличении t ускорение растёт, поэтому скорость будет положительной после этого момента).
Перемещение: s(t) = 0.0666667 t³ − 1.294 t² (м).
Практический смысл:
- В первые около 6.5 с сила F(t) слишком мала, чтобы компенсировать компоненту тяжести, поэтому брусок движется вниз по наклонной.
- Примерно к 6.47 с ускорение становится нулём, после этого ускорение становится вверх по наклонной, однако скорость ещё остаётся отрицательной вплоть до примерно 12.94 с.
- После 12.94 с скорость уже направлена вверх, то есть брусок начинает двигаться вверх по наклонной.
Если нужно, могу привести графики a(t), v(t) и s(t) или рассчитать значения в конкретные моменты времени.
