В треугольнике ABC DE-средняя линия . Площадь треугольника CDE равна 9.Найдите площадь треугольника ABC

Задача: В треугольнике ABC DE — середняя линия. Площадь треугольника CDE равна 9. Найдите площадь треугольника ABC.

Пояснение и решение

1. Что означает DE как середняя линия

• D — середина AB, E — середина AC.
• DE ∥ BC и DE = BC/2.

2. Введение координат (обоснованное и удобное для расчетов)

• Положим A = (0, 0), B = (b, 0), C = (c_x, c_y) с c_y > 0.
• Тогда D — середина AB: D = (b/2, 0).
• И E — середина AC: E = (c_x/2, c_y/2).

3. Площадь треугольника ABC

• SABC = 1/2 · |det(B − A, C − A)| = 1/2 · |det((b,0), (c_x, c_y))| = (b·c_y)/2.

4. Площадь треугольника CDE

• Величины: D − C = (b/2 − c_x, −c_y), E − C = (c_x/2 − c_x, c_y/2 − c_y) = (−c_x/2, −c_y/2).
• det(D − C, E − C) = (b/2 − c_x)(−c_y/2) − (−c_y)(−c_x/2) = −(b c_y)/4.
• S(CDE) = 1/2 · |det(D − C, E − C)| = 1/2 · (b c_y/4) = (b c_y)/8.

5. Отношение площадей

• S(CDE) = (b c_y)/8, S(ABC) = (b c_y)/2.
• Отсюда S(CDE) : S(ABC) = 1/8 : 1/2 = 1 : 4.
• Значит S(ABC) = 4 · S(CDE).

6. Применение к числу

• У нас S(CDE) = 9, значит S(ABC) = 4 · 9 = 36.

Ответ: площадь треугольника ABC равна 36.