В треугольнике ABC DE-средняя линия . Площадь треугольника CDE равна 9.Найдите площадь треугольника ABC

Задача: В треугольнике ABC DE — середняя линия. Площадь треугольника CDE равна 9. Найдите площадь треугольника ABC. Пояснение и решение 1) Что означает DE как середняя линия - D — середина AB, E — середина AC. - DE ∥ BC и DE = BC/2. 2) Введение координат (обоснованное и удобное для расчетов) - Положим A = (0, 0), B = (b, 0), C = (c_x, c_y) с c_y > 0. - Тогда D — середина AB: D = (b/2, 0). - И E — середина AC: E = (c_x/2, c_y/2). 3) Площадь треугольника ABC - SABC = 1/2 · |det(B − A, C − A)| = 1/2 · |det((b,0), (c_x, c_y))| = (b·c_y)/2. 4) Площадь треугольника CDE - Величины: D − C = (b/2 − c_x, −c_y), E − C = (c_x/2 − c_x, c_y/2 − c_y) = (−c_x/2, −c_y/2). - det(D − C, E − C) = (b/2 − c_x)(−c_y/2) − (−c_y)(−c_x/2) = −(b c_y)/4. - S(CDE) = 1/2 · |det(D − C, E − C)| = 1/2 · (b c_y/4) = (b c_y)/8. 5) Отношение площадей - S(CDE) = (b c_y)/8, S(ABC) = (b c_y)/2. - Отсюда S(CDE) : S(ABC) = 1/8 : 1/2 = 1 : 4. - Значит S(ABC) = 4 · S(CDE). 6) Применение к числу - У нас S(CDE) = 9, значит S(ABC) = 4 · 9 = 36. Ответ: площадь треугольника ABC равна 36.