*2. На экваторе некоторой планеты тела весят втрое меньше, чем на полюсе. Период обращения планеты вокруг своей оси равен 55 мин. Найдите плотность планеты, считая ее однородным…

Задача: На экваторе тела вес в 3 раза меньше, чем на полюсе. Период вращения планеты вокруг своей оси T = 55 мин. Найдите плотность планеты, считаемой однородным шаром.

Пояснение и решение пошагово

1. Введение понятий

• Пусть g — обычное ускорение свободного падения на поверхности планеты без учёта вращения.
• На экваторе действует центростремительное ( centrifugal) ускорение a_c = ω²R, где ω — угловая скорость вращения, R — радиус планеты.
• Вдоль нормали к поверхности на экваторе действующая «эффективная» ускорение тяжести geff, которое воспринимает находящийся на поверхности объект: geff(экватор) = g − ω²R.
• На полюсе вращение даёт нулевое центростремительное ускорение: geff(полюс) = g.
• По условию вес на экваторе в 3 раза меньше, чем на полюсе: geff(экватор) = (1/3) geff(полюс) → g − ω²R = g/3.

2. Связь g с плотностью

• Для однородного шара масса M = (4/3)πR³ρ.
• g на поверхности шара: g = GM/R².
• Подставляем M: g = G[(4/3)πR³ρ]/R² = (4/3)πGρR.

3. Получение выражения для ω и ρ Из условия гефф: g − ω²R = g/3 → ω²R = 2g/3.

А поскольку g = (4/3)πGρR, то: ω²R = (2/3) · (4/3)πGρR = (8/9)πGρR.

Сняв R: ω² = (8/9)πGρ → ρ = [9/(8πG)] · ω².

4. Период вращения и численное значение ω

• T = 55 минут = 55 × 60 = 3300 s.
• ω = 2π / T = 2π / 3300 ≈ 0.001903 rad/s.
• ω² ≈ (0.001903)² ≈ 3.63 × 10⁻⁶ s⁻².

5. Подстановка констант и вычисление ρ

• Гравитационная константа G ≈ 6.674×10⁻¹¹ м³/(кг·с²).
• 8πG ≈ 8 · π · 6.674×10⁻¹¹ ≈ 1.677×10⁻⁹.
• 9/(8πG) ≈ 9 / (1.677×10⁻⁹) ≈ 5.37×10⁹.
• ρ ≈ (5.37×10⁹) · (3.63×10⁻⁶) ≈ 1.95×10⁴ кг/м³.

Округление даёт ρ ≈ 1.95 × 10⁴ кг/м³.

Ответ: примерно 1.945×10⁴ кг/м³ (около 1.95×10⁴ кг/м³).