Диагональ равнобокой трапеции с основаниям 4 и 10 см является биссектриссой угла трапеции. Найдите периметр трапеции

Задача: равнобокая трапеция с основаниями 4 см и 10 см, диагональ является биссектриссой угла трапеции. Найдите периметр.

Построение и шаги решения:

• Пусть основание AB — длиннее и равно 10, основание CD = 4, трапеция ABCD идёт по порядку (AB ∥ CD), AD = BC (равные боковые стороны).

• Примем удобное положение координат:

  • A = (0, 0), B = (10, 0).
  • Так как трапеция равнобочная и основания параллельны, верхнее основание CD должно быть симметрично над нижним. Разница длин оснований равна 6, половина этой разницы на каждую сторону составляет 3. Значит D = (3, h), C = (7, h), где h > 0 — высота трапеции.

• Длина боковых сторон (отмечаем l): AD = BC = sqrt(3^2 + h^2) = sqrt(9 + h^2).

• Условие задачи: диагональ AC является биссектриссой угла трапеции. Пусть диагональ AC — бисектриса угла A (угла между AB и AD). Это значит, что углы ∠BAC и ∠CAD равны.

• Вычислим cos угла между парами векторов:

  • AB = (10, 0), AC = (7, h). Cos угла между AB и AC: cos(∠BAC) = (AB · AC) / (|AB||AC|) = (10·7) / (10√(7^2 + h^2)) = 7 / √(49 + h^2).
  • AC = (7, h), AD = (3, h). Cos угла между AC и AD: cos(∠CAD) = (AC · AD) / (|AC||AD|) = (7·3 + h^2) / (√(49 + h^2) · √(9 + h^2)) = (21 + h^2) / (√(49 + h^2)√(9 + h^2)).

• Заданному условию равенства углов соответствует равенство косинусов: 7 / √(49 + h^2) = (21 + h^2) / (√(49 + h^2) √(9 + h^2)).

  После сокращения получаем: 7 = (21 + h^2) / √(9 + h^2) → 7√(9 + h^2) = 21 + h^2.

  Обозначим t = √(9 + h^2). Тогда 7t = 21 + (t^2 − 9) = t^2 + 12, следовательно t^2 − 7t + 12 = 0 → (t − 3)(t − 4) = 0.

  Значение t = 3 реально даёт h = 0 (нереально для трапеции), значит t = 4. Отсюда 9 + h^2 = 16 → h^2 = 7 → h = √7.

• Найдём длину боковых сторон: AD = √(9 + h^2) = √(9 + 7) = √16 = 4. Так же BC = 4.

• Периметр трапеции: P = AB + BC + CD + DA = 10 + 4 + 4 + 4 = 22 см.

Ответ: 22 см.