Брусок располагается на гладкой очень длинной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту 15 градусов. Масса бруска 2 кг. В момент времени t=0 с…
Брусок располагается на гладкой очень длинной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту 15 градусов. Масса бруска 2 кг. В момент времени t=0 с брусок отпускают и при этом к нему прикладывают силу, направленную вверх парраллельно наклонной плоскости. Зависимость модуля силы от времени описывается формулой F=B*t, где B=0,2 H/с. Ускорение свободного падения 10 H/м. Как будет двигатьсяя брусок сразу после того, как его отпустят? Определите ускорение бруск в начальный момент времени. В какой момент времени ускорение бруска будет равно 0? В какой момент времени брусок остановится?
Задача решается в рамках безтрения (гладкая поверхность) по направлению вдоль наклонной плоскости. Обозначения:
- направление вдоль плоскости вверх по наклону — плюс.
- F(t) — сила, прикладываемая вверх по наклону: F(t) = B t, B = 0.2 N/s.
- m = 2 кг, g = 10 м/с^2, угол наклона θ = 15°.
- Компонента силы тяжести вдоль наклона: m g sin θ направлена вниз по наклону (то есть против плюс-направления).
- Уравнение движения m a = F(t) − m g sin θ ⇒ a(t) = (F(t) − m g sin θ) / m = (B t)/m − g sin θ.
Подставим численные значения:
- g sin θ = 10 · sin 15° ≈ 10 · 0.258819 ≈ 2.588 м/с^2.
- B/m = 0.2 / 2 = 0.1. Но в формуле мы используем (B t)/m = (0.2 t)/2 = 0.1 t, что эквивалентно (B/m) t.
Получаем: a(t) = 0.1 t − 2.588 (м/с^2).
- Как будет двигаться брусок сразу после отпускания При t = 0 сила вверх по наклону равна нулю, therefore начальное ускорение: a(0) = − g sin θ ≈ −2.588 м/с^2.
Значит, вначале брусок будет двигаться вниз по наклону (прямо под действием силы тяжести), ускорение против направления подъема.
Определите ускорение бруска в начальный момент времени a(0) = − g sin θ ≈ −2.59 м/с^2 (направление вниз по наклону).
В какой момент времени ускорение станет равно 0? Уравнение a(t) = 0: 0 = 0.1 t − 2.588 ⇒ t = 2.588 / 0.1 ≈ 25.88 с.
Итого: ускорение равно 0 примерно через 25.9 секунды.
- В какой момент времени брусок остановится? С начальным условием v(0) = 0, скорость равна интегралу от ускорения: v(t) = ∫ a(t) dt = ∫ (0.1 t − 2.588) dt = 0.05 t^2 − 2.588 t.
Условия остановки: v(t) = 0. Решаем: 0 = 0.05 t^2 − 2.588 t = t(0.05 t − 2.588).
Корни: t = 0 и t = 2.588 / 0.05 = 51.76 с.
Итак, брусок окончательно остановится через примерно 51.8 секунды (после этого он начнет двигаться вверх по наклону, так как сила F растет и в итоге ускорение станет положительным).
Кратко резюме:
- Сразу после отпускания: движение вниз по наклону, ускорение ≈ −2.59 м/с^2.
- Ускорение становится нулевым через ≈ 25.9 с.
- Брусок остановится (нулевая скорость повторно) через ≈ 51.8 с.
