Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если высота , проведенная к ней, равна 4 см, а один из углов треугольника равен 75°

Ответ: 16 см

Пошаговое решение (для 8 класса, цель — понять):

1. Пусть гипотенуза треугольника равна c, высота, опущенная на гипотенузу, равна h = 4 см. Острые углы треугольника равны 75° и 15° (так как сумма углов в прямоугольном треугольнике — 180°, один угол — 90°, значит другой — 75° и 15°).

2. Пусть стороны-противолежащие углам 75° и 15° — a и b, соответственно. Тогда a = c · sin 75°, b = c · sin 15°.

3. Высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике равна h = (a · b) / c. Подставляем выражения для a и b: h = (c sin75° · c sin15°) / c = c · sin75° · sin15°.

4. Найдём значение sin75° · sin15°. Из точных значений: sin75° = (√6 + √2)/4, sin15° = (√6 − √2)/4. Их произведение равно: [(√6 + √2)(√6 − √2)] / 16 = (6 − 2) / 16 = 4/16 = 1/4.

5. Значит h = c · (1/4). Так как h = 4, получаем: 4 = c · (1/4) → c = 4 · 4 = 16.

Ответ: гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16 см.