В конце рабочего дня наружные поверхности вагонов метро обязательно моют в автоматическом режиме. Один из школьников в рамках проекта «Сириус.Лето» предложил следующий способ…
В конце рабочего дня наружные поверхности вагонов метро обязательно моют в автоматическом режиме. Один из школьников в рамках проекта «Сириус.Лето» предложил следующий способ очистки окон вагона. Окна имеют прямоугольную форму и размеры а = 120 см, b = 120 см. Протирают окно при помощи механического манипулятора, который прижимает к стеклу прямоугольную губку размерами с = 15 см и d = 30 см, а затем перемещает её в горизонтальном и вертикальном направлениях. (1 Пусть вагон движется со скоростью U = 0.7 м/с. Манипулятор начинает протирать стекло, прижав губку к верхнему левому углу стекла и двигая её в горизонтальном направлении в сторону движения вагона со скоростью и = 1 м/с относительно поверхности Земли. Достигнув противоположного края окна, манипулятор перемещает губку так, что относительно окна она смещается вниз вдоль вертикальной стороны окна на расстояние d, двигаясь со скоростью иу = 0.8 м/с относительно окна. После этого манипулятор перемещает губку в горизонтальном направлении со скоростью и относительно поверхности Земли, но уже в направлении, противоположном движению вагона. Эти манипуляции продолжаются до тех пор, пока окно не будет полностью протёрто. За какое время Губка достигнет противоположного края окна первый раз? Сколько времени занимает проход губки от правого края окна к левому?
Решение (пошагово, с пояснениями)
Даны размеры и скорости:
- Окно: a = 120 см = 1.20 м (горизонтальная сторона), b = 120 см (квадрат, геометрии не влияет на ответ).
- Губка: размеры c = 15 см = 0.15 м (горизонтальная сторона), d = 30 см = 0.30 м (вертикальная сторона).
- Скорость вагона U = 0.70 м/с (вдоль направления движения вагона).
- Скорость протирания по горизонтали относительно Земли в направлении движения вагона: i = 1.00 м/с.
- Скорость опускания губки вдоль вертикальной стороны окна относительно окна: iу = 0.80 м/с. (Здесь подразумевается, что первое горизонтальное движение идет вправо вдоль окна, затем губку опускают вдоль правой вертикальной стороны окна на d, а затем снова перемещают горизонтально влево относительно Земли.)
- Время до достижения противоположного края окна впервые
- Губка начинается с правого края левой стороны окна: ее левый угол совпадает с левым верхним углом окна, следовательно горизонтально губка охватывает ширину c = 0.15 м.
- Чтобы достигнуть противоположного края окна (правого края), относительное движение губки по отношению к окну должно покрыть расстояние a − c = 1.20 − 0.15 = 1.05 м.
- Скорость губки относительно окна равна разности их скоростей по горизонтали: v_rel1 = i − U = 1.00 − 0.70 = 0.30 м/с.
- Время t1 = (a − c) / v_rel1 = 1.05 / 0.30 = 3.5 секунды.
Ответ: глазка достигнет противоположного края окна первый раз через 3.5 с.
- Время прохождения губки от правого края к левому После касания правого края губку опускают вдоль вертикальной стороны окна на расстояние d, относительно окна скорость вниз iу = 0.80 м/с. Это занимает время:
- t_down = d / iу = 0.30 / 0.80 = 0.375 секунд.
Затем губка перемещают горизонтально в направлении, противоположном движению вагона (то есть влево). Скорость губки относительно Земли в этом этапе — против方向 движения вагона, значит v_s2 = −i = −1.00 м/с. В то же время окно движется вправо со скоростью U = 0.70 м/с. Поэтому скорость губки относительно окна во второй горизонтальной фазе по модулю:
- v_rel2 = |v_s2 − U| = |−1.00 − 0.70| = 1.70 м/с.
Расстояние, которое нужно покрыть губке относительно окна, чтобы перейти от правого края к левому, остается таким же: a − c = 1.05 м.
Поэтому время горизонтального перехода слева направо:
- t_left = (a − c) / v_rel2 = 1.05 / 1.70 ≈ 0.6176 секунд.
Ответ: проход губки от правого края окна к левому занимает примерно 0.618 секунды.
Итого:
- Время до первого достижения противоположного края окна: 3.50 s.
- Время прохождения от правого края к левому (горизонтальная часть после спуска): примерно 0.618 s. Примечание: в расчетах приняты постоянные скорости на каждом этапе и игнорируются ускорения при старте/остановке.
