В конце рабочего дня наружные поверхности вагонов метро обязательно моют в автоматическом режиме. Один из школьников в рамках проекта «Сириус.Лето» предложил следующий способ…
В конце рабочего дня наружные поверхности вагонов метро обязательно моют в автоматическом режиме. Один из школьников в рамках проекта «Сириус.Лето» предложил следующий способ очистки окон вагона. Окна имеют прямоугольную форму и размеры а = 115 см, b = 140 см. Протирают окно при помощи механического манипулятора, который прижимает к стеклу прямоугольную губку размерами с = 10 см и d = 35 см, а затем перемещает её в горизонтальном и вертикальном направлениях. (1 Пусть вагон движется со скоростью U = 0.8 м/с. Манипулятор начинает протирать стекло, прижав губку к верхнему левому углу стекла и двигая её в горизонтальном направлении в сторону движения вагона со скоростью и = 1,2 м/с относительно поверхности Земли. Достигнув противоположного края окна, манипулятор перемещает губку так, что относительно окна она смещается вниз вдоль вертикальной стороны окна на расстояние d, двигаясь со скоростью иу = 1,1 м/с относительно окна. После этого манипулятор перемещает губку в горизонтальном направлении со скоростью и относительно поверхности Земли, но уже в направлении, противоположном движению вагона. Эти манипуляции продолжаются до тех пор, пока окно не будет полностью протёрто. За какое время Губка достигнет противоположного края окна первый раз? Сколько времени занимает проход губки от правого края окна к левому?
Контекст и обозначения (для ясности):
- Прямоугольник окна: ширина a = 115 см = 1.15 м, высота b = 140 см (не влияет на времена).
- Губка: ширина по горизонтали c = 10 см = 0.10 м, вертикальное смещение d = 35 см = 0.35 м.
- Скорости: скорость вагона U = 0.8 м/с (направление вправо по оси x); скорость протирки вдоль окна относительно земли в первом ходе i = 1.2 м/с (также вправо). Вертикальная скорость относительно окна при смещении вниз i_y = 1.1 м/с.
- Нюанс по скорости: для движения губки относительно окна в первом ходе v_rel1 = i − U; во втором горизонтальном ходе назад (на противоположном направлении) v_rel2 = i + U (модуль).
- Время до достижения противоположного края окна (первый горизонтальный проход вправо)
- Расстояние, которое должна пройти левая граница губки по окну, чтобы ее правая граница коснулась правого края: s = a − c = 1.15 − 0.10 = 1.05 м.
- Скорость относительная к окну в этом ходе: v_rel1 = i − U = 1.2 − 0.8 = 0.4 м/с.
- Время: t1 = s / v_rel1 = 1.05 / 0.4 = 2.625 с.
Ответ: губка достигнет противоположного (правого) края окна через примерно 2.63 секунды.
- Время прохода губки от правого края к левому (после смещения вниз) После достижения правого края губка опускается вдоль правой вертикальной стороны на расстояние d со скоростью относительно окна i_y = 1.1 м/с. Это время не относится к горизонтальному перемещению, но важно для последовательности действий:
- Время движения вниз: t_down = d / i_y = 0.35 / 1.1 ≈ 0.318 с.
Затем губку снова перемещают горизонтально, но уже в направлении, противоположном движению вагона (то есть влево относительно окна). Рассматриваем горизонтальное перемещение вдоль окна:
- Расстояние снова s = a − c = 1.05 м.
- Скорость относительная к окну во втором горизонтальном ходе: v_rel2 = i + U = 1.2 + 0.8 = 2.0 м/с (модуль скорости относительно окна при движении влево).
- Время горизонтального прохода слева направо отсутствует; нас интересует время от правого края до левого края, то есть расстояние s при скорости v_rel2: t3 = s / v_rel2 = 1.05 / 2.0 = 0.525 с.
Ответ: время прохода от правого края окна к левому составляет примерно 0.525 секунд.
Дополнительно (по желанию): суммарное время полного цикла до достижения левого края после первого обращения
- t_total = t1 + t_down + t3 ≈ 2.625 + 0.318 + 0.525 ≈ 3.468 с.
Итого:
- Время до достижения противоположного края впервые: ≈ 2.63 с.
- Время перемещения от правого края к левому (после смещения вниз): ≈ 0.53 с (плюс отдельно време́нь смещения вниз ≈ 0.32 с, если учитывать весь цикл).
