В конце рабочего дня наружные поверхности вагонов метро обязательно моют в автоматическом режиме. Один из школьников в рамках проекта «Сириус.Лето» предложил следующий способ…

Дано (ориентация по горизонтали вправо и по вертикали вниз):

• Окно: размеры a = 115 см = 1.15 m по горизонтали, b = 140 см = 1.40 m по вертикали.
• Губка: размеры c = 10 см = 0.10 m (горизонтальная сторона), d = 35 см = 0.35 m (вертикальная сторона).
• Вагон движется вправо со скоростью U = 0.80 м/с.
• Мануипулятор держит губку и двигает её:
  • в первом горизонтальном ходе относительно Земли со скоростью i = 1.20 м/с в направлении движения вагона.
  • затем опускает губку вдоль правой вертикальной стороны на расстояние d (0.35 м) со скоростью относительно окна iu = 1.10 м/с вниз.
  • затем снова двигает губку горизонтально, теперь в направлении, противоположном движению вагона, со скоростью i = 1.20 м/с относительно Земли.
• За один ход губка смещается относительно окна на всю доступную ширину окна за вычетом своей ширины: горизонтальная дистанция h = a − c = 1.15 − 0.10 = 1.05 м.
• Вертикальные шаги между горизонтальными ходами равны d, т.е. окно разбито на слоя высотой d: b/d = 1.40/0.35 = 4 слоя. После каждого горизонтального хода губка перемещается вниз по вертикальной стороне на расстояние d, за исключением последнего хода (последний слой достигается без последующего спуска).

1. Время и смещения на первом горизонтальном ходе (левый верхний угол → правый верхний угол)

• Скорость губки относительно окна: v_rel_x = i − U = 1.20 − 0.80 = 0.40 м/с.
• Горизонтальное пройденное окно расстояние: a − c = 1.05 м.
• Время на ход: t_h1 = (a − c) / v_rel_x = 1.05 / 0.40 = 2.625 s.
• Смещение вагона за это время: s_w1 = U · t_h1 = 0.80 · 2.625 = 2.10 м.

2. Время и смещение во время вертикального спуска после первого хода

• Скорость спуска относительно окна: iu = 1.10 м/с вниз.
• Время спуска: t_d = d / iu = 0.35 / 1.10 ≈ 0.318 s.
• Поскольку окно продолжает двигаться вправо со скоростью 0.80 м/с, горизонтальное смещение губки за время спуска: s_xd = U · t_d ≈ 0.80 · 0.318 ≈ 0.2545 м.

3. Второй горизонтальный ход (правый край → левый край)

• Существующий горизонтальный ход направлен против движения вагона, поэтому в рамках окна относительная скорость по горизонтали будет v_rel_x2 = a − c / t_h2, и сами скорости по Земле: i = −1.20 м/с.
• Относительно окна нужное горизонтальное пройденное расстояние по стеклу: снова a − c = 1.05 м.
• Относительная скорость губки относительно окна во втором ходе: v_rel_x2 = 2.00 м/с (поскольку губка движется влево, а окно — вправо; здесь берём величину для времени):
• Время хода: t_h2 = (a − c) / 2.00 = 1.05 / 2.00 = 0.525 s.
• Смещение вагона за это время: s_w2 = U · t_h2 = 0.80 · 0.525 = 0.420 м.
• Вклад губки в горизонтальное смещение относительно Земли за этот ход:
  • абсолютная скорость губки по Земле durante ход = −1.20 м/с, время 0.525 с, поэтому вклад = −1.20 · 0.525 = −0.63 м.
  • суммарное горизонтальное смещение губки за этот ход учитывает и движение вагона, даёт общий вклад: −0.63 м (влево относительно Земли).

4. Снова спуск вдоль другой вертикальной стороны (после второго хода)

• Вертикальный спуск по той же схеме: t_d ≈ 0.318 с, горизонтальный вклад за спуск: s_xd ≈ 0.2545 м. Теперь губка находится у левого края окна, поэтому спуск идёт вдоль левой стороны.

5. Третий горизонтальный ход (левый край → правый край)

• Аналогично первому ходу: t_h3 = 2.625 s, s_w3 = 2.10 м, вклад по Земле: +3.15 м (поскольку губка движется вправо относительно Земли).

6. Третий вертикальный спуск

• t_d ≈ 0.318 s, вклад по Земле: +0.2545 м.

7. Четвёртый горизонтальный ход (правый край → левый край)

• Аналогично второму ходу: t_h4 = 0.525 s, вклад по Земле: −0.63 м.

8. Итог по времени

• Время всех ходов: t_total = t_h1 + t_d + t_h2 + t_d + t_h3 + t_d + t_h4 = 2.625 + 0.318 + 0.525 + 0.318 + 2.625 + 0.318 + 0.525 ≈ 7.254 s.

9. Итоговые смещения

• Смещение вагона за время очистки: S_wagon = U · t_total ≈ 0.80 · 7.254 ≈ 5.80 м.
• Смещение губки по горизонтали относительно земли за время очистки: сумма всех вкладов по горизонтали: S_spong_h = (1.20 · t_h1) + (−1.20 · t_h2) + (1.20 · t_h3) + (−1.20 · t_h4) + (0.80 · t_d) + (0.80 · t_d) + (0.80 · t_d) = 3.15 − 0.63 + 3.15 − 0.63 + 0.2545 + 0.2545 + 0.2545 ≈ 5.80 м. То есть губка за время очистки относительно земли смещается примерно на 5.80 м в целом (то же значение, что и вагон, в силу параллельного движения и равной суммарной длительности).
• Скорость губки относительно земли во время движения вниз по вертикальной стороне окна:
  • Компоненты скорости: по горизонтали v_x = U = 0.80 м/с, по вертикали v_y = iu = 1.10 м/с вниз.
  • Модуль скорости: v = sqrt(v_x^2 + v_y^2) = sqrt(0.80^2 + 1.10^2) ≈ sqrt(0.64 + 1.21) = sqrt(1.85) ≈ 1.36 м/с.
  • Направление: вправо и вниз (при движении вниз вдоль вертикальной стороны окна).

Итоговые ответы:

• На какое расстояние сместится вагон относительно земли за время очистки окна: примерно 5.80 метров.
• На какое расстояние сместится губка по горизонтали относительно земли за время очистки окна: примерно 5.80 метров.
• С какой скоростью движется губка относительно земли при её смещении вниз относительно вертикальной стороны окна: горизонтальная составляющая 0.80 м/с, вертикальная составляющая 1.10 м/с вниз; модуль скорости около 1.36 м/с.

Примечания:

• Я принял ориентацию губки так, что ее горизонтальная сторона c совпадает с горизонталью окна, а вертикальная сторона d — с вертикалью окна.
• Шаги с вертикальными перемещениями повторяются три раза (после первого, второго и третьего горизонтальных ходов), после последнего горизонтального хода очистка завершается и последующий спуск не выполняется.