В конце рабочего дня наружные поверхности вагонов метро обязательно моют в автоматическом режиме. Один из школьников в рамках проекта «Сириус.Лето» предложил следующий способ очистки окон вагона. Окна имеют прямоугольную форму и размеры а = 115 см, b = 140 см. Протирают окно при помощи механического манипулятора, который прижимает к стеклу прямоугольную губку размерами с = 10 см и d = 35 см, а затем перемещает её в горизонтальном и вертикальном направлениях. (1 Пусть вагон движется со скоростью U = 0.8 м/с. Манипулятор начинает протирать стекло, прижав губку к верхнему левому углу стекла и двигая её в горизонтальном направлении в сторону движения вагона со скоростью и = 1,2 м/с относительно поверхности Земли. Достигнув противоположного края окна, манипулятор перемещает губку так, что относительно окна она смещается вниз вдоль вертикальной стороны окна на расстояние d, двигаясь со скоростью иу = 1,1 м/с относительно окна. После этого манипулятор перемещает губку в горизонтальном направлении со скоростью и относительно поверхности Земли, но уже в направлении, противоположном движению вагона. Эти манипуляции продолжаются до тех пор, пока окно не будет полностью протёрто. На какое расстояние сместится вагон относительно земли за время очистки окна? На какое расстояние сместится губка по горизонтали относительно земли за время очистки окна? С какой скоростью движется губка относительно земли при ее смещении вниз относительно вертикальной стороны окна

Дано (ориентация по горизонтали вправо и по вертикали вниз): - Окно: размеры a = 115 см = 1.15 m по горизонтали, b = 140 см = 1.40 m по вертикали. - Губка: размеры c = 10 см = 0.10 m (горизонтальная сторона), d = 35 см = 0.35 m (вертикальная сторона). - Вагон движется вправо со скоростью U = 0.80 м/с. - Мануипулятор держит губку и двигает её: - в первом горизонтальном ходе относительно Земли со скоростью i = 1.20 м/с в направлении движения вагона. - затем опускает губку вдоль правой вертикальной стороны на расстояние d (0.35 м) со скоростью относительно окна iu = 1.10 м/с вниз. - затем снова двигает губку горизонтально, теперь в направлении, противоположном движению вагона, со скоростью i = 1.20 м/с относительно Земли. - За один ход губка смещается относительно окна на всю доступную ширину окна за вычетом своей ширины: горизонтальная дистанция h = a − c = 1.15 − 0.10 = 1.05 м. - Вертикальные шаги между горизонтальными ходами равны d, т.е. окно разбито на слоя высотой d: b/d = 1.40/0.35 = 4 слоя. После каждого горизонтального хода губка перемещается вниз по вертикальной стороне на расстояние d, за исключением последнего хода (последний слой достигается без последующего спуска). 1) Время и смещения на первом горизонтальном ходе (левый верхний угол → правый верхний угол) - Скорость губки относительно окна: v_rel_x = i − U = 1.20 − 0.80 = 0.40 м/с. - Горизонтальное пройденное окно расстояние: a − c = 1.05 м. - Время на ход: t_h1 = (a − c) / v_rel_x = 1.05 / 0.40 = 2.625 s. - Смещение вагона за это время: s_w1 = U · t_h1 = 0.80 · 2.625 = 2.10 м. 2) Время и смещение во время вертикального спуска после первого хода - Скорость спуска относительно окна: iu = 1.10 м/с вниз. - Время спуска: t_d = d / iu = 0.35 / 1.10 ≈ 0.318 s. - Поскольку окно продолжает двигаться вправо со скоростью 0.80 м/с, горизонтальное смещение губки за время спуска: s_xd = U · t_d ≈ 0.80 · 0.318 ≈ 0.2545 м. 3) Второй горизонтальный ход (правый край → левый край) - Существующий горизонтальный ход направлен против движения вагона, поэтому в рамках окна относительная скорость по горизонтали будет v_rel_x2 = a − c / t_h2, и сами скорости по Земле: i = −1.20 м/с. - Относительно окна нужное горизонтальное пройденное расстояние по стеклу: снова a − c = 1.05 м. - Относительная скорость губки относительно окна во втором ходе: v_rel_x2 = 2.00 м/с (поскольку губка движется влево, а окно — вправо; здесь берём величину для времени): - Время хода: t_h2 = (a − c) / 2.00 = 1.05 / 2.00 = 0.525 s. - Смещение вагона за это время: s_w2 = U · t_h2 = 0.80 · 0.525 = 0.420 м. - Вклад губки в горизонтальное смещение относительно Земли за этот ход: - абсолютная скорость губки по Земле durante ход = −1.20 м/с, время 0.525 с, поэтому вклад = −1.20 · 0.525 = −0.63 м. - суммарное горизонтальное смещение губки за этот ход учитывает и движение вагона, даёт общий вклад: −0.63 м (влево относительно Земли). 4) Снова спуск вдоль другой вертикальной стороны (после второго хода) - Вертикальный спуск по той же схеме: t_d ≈ 0.318 с, горизонтальный вклад за спуск: s_xd ≈ 0.2545 м. Теперь губка находится у левого края окна, поэтому спуск идёт вдоль левой стороны. 5) Третий горизонтальный ход (левый край → правый край) - Аналогично первому ходу: t_h3 = 2.625 s, s_w3 = 2.10 м, вклад по Земле: +3.15 м (поскольку губка движется вправо относительно Земли). 6) Третий вертикальный спуск - t_d ≈ 0.318 s, вклад по Земле: +0.2545 м. 7) Четвёртый горизонтальный ход (правый край → левый край) - Аналогично второму ходу: t_h4 = 0.525 s, вклад по Земле: −0.63 м. 8) Итог по времени - Время всех ходов: t_total = t_h1 + t_d + t_h2 + t_d + t_h3 + t_d + t_h4 = 2.625 + 0.318 + 0.525 + 0.318 + 2.625 + 0.318 + 0.525 ≈ 7.254 s. 9) Итоговые смещения - Смещение вагона за время очистки: S_wagon = U · t_total ≈ 0.80 · 7.254 ≈ 5.80 м. - Смещение губки по горизонтали относительно земли за время очистки: сумма всех вкладов по горизонтали: S_spong_h = (1.20 · t_h1) + (−1.20 · t_h2) + (1.20 · t_h3) + (−1.20 · t_h4) + (0.80 · t_d) + (0.80 · t_d) + (0.80 · t_d) = 3.15 − 0.63 + 3.15 − 0.63 + 0.2545 + 0.2545 + 0.2545 ≈ 5.80 м. То есть губка за время очистки относительно земли смещается примерно на 5.80 м в целом (то же значение, что и вагон, в силу параллельного движения и равной суммарной длительности). - Скорость губки относительно земли во время движения вниз по вертикальной стороне окна: - Компоненты скорости: по горизонтали v_x = U = 0.80 м/с, по вертикали v_y = iu = 1.10 м/с вниз. - Модуль скорости: v = sqrt(v_x^2 + v_y^2) = sqrt(0.80^2 + 1.10^2) ≈ sqrt(0.64 + 1.21) = sqrt(1.85) ≈ 1.36 м/с. - Направление: вправо и вниз (при движении вниз вдоль вертикальной стороны окна). Итоговые ответы: - На какое расстояние сместится вагон относительно земли за время очистки окна: примерно 5.80 метров. - На какое расстояние сместится губка по горизонтали относительно земли за время очистки окна: примерно 5.80 метров. - С какой скоростью движется губка относительно земли при её смещении вниз относительно вертикальной стороны окна: горизонтальная составляющая 0.80 м/с, вертикальная составляющая 1.10 м/с вниз; модуль скорости около 1.36 м/с. Примечания: - Я принял ориентацию губки так, что ее горизонтальная сторона c совпадает с горизонталью окна, а вертикальная сторона d — с вертикалью окна. - Шаги с вертикальными перемещениями повторяются три раза (после первого, второго и третьего горизонтальных ходов), после последнего горизонтального хода очистка завершается и последующий спуск не выполняется.