В конце рабочего дня наружные поверхности вагонов метро обязательно моют в автоматическом режиме. Один из школьников в рамках проекта «Сириус.Лето» предложил следующий способ…
В конце рабочего дня наружные поверхности вагонов метро обязательно моют в автоматическом режиме. Один из школьников в рамках проекта «Сириус.Лето» предложил следующий способ очистки окон вагона. Окна имеют прямоугольную форму и размеры а = 115 см, b = 140 см. Протирают окно при помощи механического манипулятора, который прижимает к стеклу прямоугольную губку размерами с = 10 см и d = 35 см, а затем перемещает её в горизонтальном и вертикальном направлениях. (1 Пусть вагон движется со скоростью U = 0.8 м/с. Манипулятор начинает протирать стекло, прижав губку к верхнему левому углу стекла и двигая её в горизонтальном направлении в сторону движения вагона со скоростью и = 1,2 м/с относительно поверхности Земли. Достигнув противоположного края окна, манипулятор перемещает губку так, что относительно окна она смещается вниз вдоль вертикальной стороны окна на расстояние d, двигаясь со скоростью иу = 1,1 м/с относительно окна. После этого манипулятор перемещает губку в горизонтальном направлении со скоростью и относительно поверхности Земли, но уже в направлении, противоположном движению вагона. Эти манипуляции продолжаются до тех пор, пока окно не будет полностью протёрто. На какое расстояние сместится вагон относительно земли за время очистки окна? На какое расстояние сместится губка по горизонтали относительно земли за время очистки окна? С какой скоростью движется губка относительно земли при ее смещении вниз относительно вертикальной стороны окна
Дано:
- Окно: ширина a = 115 см = 1.15 м, высота b = 140 см = 1.40 м.
- Губка: размеры c = 10 см и d = 35 см (но по задаче эти размеры задают шаг перемещения: горизонтальный шаг равен a и вертикальный шаг равен d).
- Механический манипулятор движет губку так:
- фаза 1: горизонтально вперед (в сторону движения вагона) со скоростью относительно Земли i = 1.2 м/с;
- Вагоны движется со скоростью U = 0.8 м/с.
- скорость губки относительно окна в этом этапе: i − U = 1.2 − 0.8 = 0.4 м/с.
- фаза 2: губка смещается вниз вдоль вертикальной стороны окна на расстояние d, со скоростью относительно окна w_down = 1.1 м/с; скорость вагона по горизонтали неизменна (0.8 м/с);
- фаза 3: горизонтально назад (против направления движения вагона) со скоростью относительно Земли |v_sponge| = 1.2 м/с влево; относительная скорость губки к окну в этом этапе: i + U = 1.2 + 0.8 = 2.0 м/с (поскольку движение навстречу вагону и окно тоже движется).
- Фазы повторяются до полного протирания окна. Всего вдоль вертикали требуется 4 полосы (b / d = 140 / 35 = 4), значит нужно 4 горизонтальных движения губкой поперек окна (1-я — влево→вправо, 2-я — справа→налево, 3-я — влево→право, 4-я — справа→налево).
Преобразуем единицы в метры:
- a = 1.15 м
- d = 0.35 м
- Времена каждой фазы
- Фаза 1 (горизонтально вперед, относительно окна скорость относительно Земли i; скорость губки относительно окна i − U = 0.4 м/с): t1 = a / (i − U) = 1.15 / 0.4 = 2.875 s
- Фаза 2 (постепенно вниз, относительно окна v_down = 1.1 м/с): t2 = d / 1.1 = 0.35 / 1.1 ≈ 0.31818 s
- Фаза 3 (горизонтально назад, относительная скорость губки к окну = i + U = 2.0 м/с): t3 = a / (i + U) = 1.15 / 2.0 = 0.575 s
- Фаза 4 (снова вниз): t4 = t2 ≈ 0.31818 s
- Фаза 5 (горизонтально вперед): t5 = t1 = 2.875 s
- Фаза 6 (снова вниз): t6 = t2 ≈ 0.31818 s
- Фаза 7 (горизонтально назад): t7 = t3 = 0.575 s
Общее время очистки окна: t_total = t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 = 2.875 + 0.31818 + 0.575 + 0.31818 + 2.875 + 0.31818 + 0.575 ≈ 7.8545 s
- Расстояние, на которое сместится вагон relativo к Земле за время очистки
- s_wagon = U × t_total = 0.8 м/с × 7.8545 с ≈ 6.2836 м То есть вагон сместится примерно на 6.28 м вперед.
- Сколько по горизонтали сместится губка относительно земли за время очистки Разберём по фазам горизонтальный вклад губки в каждом этапе:
- Фаза 1: горизонтальный ход губки над землёй при скорости 1.2 м/с, длительностью t1 = 2.875 с: dH1 = +1.2 × 2.875 = +3.45 м
- Фаза 2: горизонтальная компонента скорости вдоль окна — 0.8 м/с за t2: dH2 = +0.8 × 0.31818 ≈ +0.25455 м
- Фаза 3: горизонтальный ход обратно; скорость губки по Земле −1.2 м/с за t3 = 0.575 с: dH3 = −1.2 × 0.575 = −0.69 м
- Фаза 4: горизонтальная компонента за t4: dH4 ≈ +0.25455 м
- Фаза 5: горизонтальный ход вперед за t5: dH5 = +3.45 м
- Фаза 6: горизонтальная компонента за t6: dH6 ≈ +0.25455 м
- Фаза 7: горизонтальный ход обратно за t7: dH7 = −0.69 м
Сумма горизональных вкладов: s_sponge_x = dH1 + dH2 + dH3 + dH4 + dH5 + dH6 + dH7 ≈ 3.45 + 0.25455 − 0.69 + 0.25455 + 3.45 + 0.25455 − 0.69 ≈ 6.2836 м
Итого губка относительно земли за время очистки сместится примерно на 6.28 м вправо.
- Скорость губки относительно земли во время смещения вниз Во фазе 2 губка смещается вниз относительно окна со скоростью w_down = 1.1 м/с; окно (вагон) движется горизонтально со скоростью U = 0.8 м/с. Следовательно, в этой фазе скорости по оси x и y такие:
- vx = 0.8 м/с (горизонтальная component from движущегося окна),
- vy = −1.1 м/с (вертикальная вниз).
Модуль скорости во время этой фазы: v_ground_down = sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(0.8^2 + 1.1^2) = sqrt(0.64 + 1.21) = sqrt(1.85) ≈ 1.36 м/с.
Ответы:
- расстояние, на которое сместится вагон относительно земли за время очистки окна: примерно 6.28 м вперед.
- горизонтальное смещение губки относительно земли за время очистки: примерно 6.28 м вправо.
- скорость губки относительно земли при ее смещении вниз относительно вертикальной стороны окна: горизонтальная компонент 0.8 м/с, вертикальная −1.1 м/с, модуль ≈ 1.36 м/с.
