(а + b)³ + (a - b)³ - 2a³

Задача: (a + b)^3 + (a − b)^3 − 2a^3

Цель: понять, дать подробное объяснение.

Решение:

1. Раскроем кубы по биному Ньютона:

• (a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3
• (a − b)^3 = a^3 − 3a^2 b + 3a b^2 − b^3

2. Сложим полученные выражения: (a + b)^3 + (a − b)^3 = (a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3) + (a^3 − 3a^2 b + 3a b^2 − b^3)

После сложения видим, что:

• 3a^2 b и −3a^2 b сокращаются
• b^3 и −b^3 сокращаются Остаётся: 2a^3 + 6a b^2

3. Вычтем 2a^3: (2a^3 + 6ab^2) − 2a^3 = 6ab^2

Ответ: 6ab^2

Дополнительное замечание: Существует общая формула: (x + y)^3 + (x − y)^3 = 2x^3 + 6xy^2. Здесь можно заменить x на a, y на b, что даёт тот же результат после вычитания 2a^3. Проверка на конкретных числах (например, a=1, b=2) даёт тот же итог: 24.