Y=x-4/x^2-x

Предположу, что задача задана как y = (x − 4) / (x^2 − x). Если имелась другая расстановка скобок, скажите — скорректирую решение. Полное решение (пошагово) 1) Область определения и преобразование - y = (x − 4) / (x^2 − x) = (x − 4) / (x(x − 1)). - Дискриминатором в знаменателе не может являться x = 0 и x = 1, значит область определения: x ∈ ℝ, x ≠ 0, 1. 2) Преобразование через разложение на частные дроби - Пусть y = A/x + B/(x − 1). - Тогда (x − 4) / (x(x − 1)) = A(x − 1)/(x(x − 1)) + Bx/(x(x − 1)). - Сравнивая числители: (A + B)x − A = x − 4. - Значения: A + B = 1 и −A = −4 ⇒ A = 4, B = −3. - Значит: y = 4/x − 3/(x − 1). 3) Асимптоты - Вертикальные асимптоты: x = 0 и x = 1 (из-за нулей знаменателя). - Горизонтальная асимптота: при x → ±∞ числитель линейный, знаменатель квадратычный, поэтому y → 0. Следовательно, горизонтальная асимптота y = 0. 4) Перехваты осей - Пересечение с осью y: нет точки в области определения (x = 0 исключено). - Пересечение с осью x (нулевая точка): числитель обнуляется при x − 4 = 0 ⇒ x = 4. Тогда y(4) = (4 − 4) / (16 − 4) = 0. Значит, точка пересечения с осью x: (4, 0). 5) Производная и критические точки - Из представления y = 4/x − 3/(x − 1) дифференцируем: y' = −4/x^2 + 3/(x − 1)^2. - Приравнивая к нулю: −4/x^2 + 3/(x − 1)^2 = 0 → 3/x^2 = 4/(x − 1)^2 → 3x^2 = 4(x − 1)^2 → x^2 − 8x + 4 = 0 → x = 4 ± 2√3. - Оба значения допустимы (не равны 0 и 1), поэтому у функции есть две критические точки: x1 = 4 − 2√3 ≈ 0.536, x2 = 4 + 2√3 ≈ 7.464. 6) Значения функции в критических точках и их характер - Вычислим значения y в этих точках, используя y = (x − 4)/(x^2 − x): a) x = 4 + 2√3: y = (4 + 2√3 − 4) / ((4 + 2√3)^2 − (4 + 2√3)) = (2√3) / (24 + 14√3) = √3 / (12 + 7√3) Рационализуем: y = 7 − 4√3. Значение y ≈ 0.0718. По второму производному (ниже) это локальный максимум на промежутке (1, ∞). b) x = 4 − 2√3: y = (4 − 2√3 − 4) / ((4 − 2√3)^2 − (4 − 2√3)) = (−2√3) / (24 − 14√3) = −√3 / (12 − 7√3) Рационализуем: y = 7 + 4√3. Значение y ≈ 13.928. Это локальный минимум на промежутке (0, 1). - Вторая производная: y'' = 8/x^3 − 6/(x − 1)^3. - При x = 4 + 2√3: y'' < 0 ⇒ локальный максимум. - При x = 4 − 2√3: y'' > 0 ⇒ локальный минимум. Итого: - Локальный максимум: точка (x, y) = (4 + 2√3, 7 − 4√3) ≈ (7.464, 0.0718). - Локальный минимум: точка (x, y) = (4 − 2√3, 7 + 4√3) ≈ (0.536, 13.928). 7) Краткая сводка по графику поведения - Область определения: x ∈ ℝ, x ≠ 0, 1. - Вертикальные асимптоты: x = 0 и x = 1. - Горизонтальная асимптота: y = 0. - x-пересечение: x = 4. - Два значимых критических аргумента: - В промежутке (0, 1): локальный минимум при x = 4 − 2√3, y = 7 + 4√3. - В промежутке (1, ∞): локальный максимум при x = 4 + 2√3, y = 7 − 4√3. - На промежутке (-∞, 0) поведение можно изучать по сумме дробей; производная и график показывают обычное снижение/возрастание без особых особенностей, кроме влияния асимптот. Дополнительная заметка - Если вы имели в виду другую запись функции, например y = x − 4/x^2 − x, просьба уточнить скобки, и я переделаю решение под новую формулу. Готов пояснить любые конкретные шаги или привести график по этой функции.