y=x-4/x^2-x

Предположу, что задача задана как y = (x − 4) / (x^2 − x). Если имелась другая расстановка скобок, скажите — скорректирую решение.

Полное решение (пошагово)

1. Область определения и преобразование

• y = (x − 4) / (x^2 − x) = (x − 4) / (x(x − 1)).
• Дискриминатором в знаменателе не может являться x = 0 и x = 1, значит область определения: x ∈ ℝ, x ≠ 0, 1.

2. Преобразование через разложение на частные дроби

• Пусть y = A/x + B/(x − 1).
• Тогда (x − 4) / (x(x − 1)) = A(x − 1)/(x(x − 1)) + Bx/(x(x − 1)).
• Сравнивая числители: (A + B)x − A = x − 4.
• Значения: A + B = 1 и −A = −4 ⇒ A = 4, B = −3.
• Значит: y = 4/x − 3/(x − 1).

3. Асимптоты

• Вертикальные асимптоты: x = 0 и x = 1 (из-за нулей знаменателя).
• Горизонтальная асимптота: при x → ±∞ числитель линейный, знаменатель квадратычный, поэтому y → 0. Следовательно, горизонтальная асимптота y = 0.

4. Перехваты осей

• Пересечение с осью y: нет точки в области определения (x = 0 исключено).
• Пересечение с осью x (нулевая точка): числитель обнуляется при x − 4 = 0 ⇒ x = 4. Тогда y(4) = (4 − 4) / (16 − 4) = 0. Значит, точка пересечения с осью x: (4, 0).

5. Производная и критические точки

• Из представления y = 4/x − 3/(x − 1) дифференцируем: y' = −4/x^2 + 3/(x − 1)^2.
• Приравнивая к нулю: −4/x^2 + 3/(x − 1)^2 = 0 → 3/x^2 = 4/(x − 1)^2 → 3x^2 = 4(x − 1)^2 → x^2 − 8x + 4 = 0 → x = 4 ± 2√3.
• Оба значения допустимы (не равны 0 и 1), поэтому у функции есть две критические точки: x1 = 4 − 2√3 ≈ 0.536, x2 = 4 + 2√3 ≈ 7.464.

6. Значения функции в критических точках и их характер

• Вычислим значения y в этих точках, используя y = (x − 4)/(x^2 − x): a) x = 4 + 2√3: y = (4 + 2√3 − 4) / ((4 + 2√3)^2 − (4 + 2√3)) = (2√3) / (24 + 14√3) = √3 / (12 + 7√3) Рационализуем: y = 7 − 4√3. Значение y ≈ 0.0718. По второму производному (ниже) это локальный максимум на промежутке (1, ∞).

  b) x = 4 − 2√3: y = (4 − 2√3 − 4) / ((4 − 2√3)^2 − (4 − 2√3)) = (−2√3) / (24 − 14√3) = −√3 / (12 − 7√3) Рационализуем: y = 7 + 4√3. Значение y ≈ 13.928. Это локальный минимум на промежутке (0, 1).

• Вторая производная: y'' = 8/x^3 − 6/(x − 1)^3.

  • При x = 4 + 2√3: y'' < 0 ⇒ локальный максимум.
  • При x = 4 − 2√3: y'' > 0 ⇒ локальный минимум.

Итого:

• Локальный максимум: точка (x, y) = (4 + 2√3, 7 − 4√3) ≈ (7.464, 0.0718).
• Локальный минимум: точка (x, y) = (4 − 2√3, 7 + 4√3) ≈ (0.536, 13.928).

7. Краткая сводка по графику поведения

• Область определения: x ∈ ℝ, x ≠ 0, 1.
• Вертикальные асимптоты: x = 0 и x = 1.
• Горизонтальная асимптота: y = 0.
• x-пересечение: x = 4.
• Два значимых критических аргумента:
  • В промежутке (0, 1): локальный минимум при x = 4 − 2√3, y = 7 + 4√3.
  • В промежутке (1, ∞): локальный максимум при x = 4 + 2√3, y = 7 − 4√3.
• На промежутке (-∞, 0) поведение можно изучать по сумме дробей; производная и график показывают обычное снижение/возрастание без особых особенностей, кроме влияния асимптот.

Дополнительная заметка

• Если вы имели в виду другую запись функции, например y = x − 4/x^2 − x, просьба уточнить скобки, и я переделаю решение под новую формулу.

Готов пояснить любые конкретные шаги или привести график по этой функции.