Коротко: основание слова — та часть, от которой снимаются окончания. Обычно к основанию относят и приставки, если задача не требует выделять корень отдельно.
Предлагаю варианты оснований для ваших слов (то, что остается после удаления окончания):
Насухо — Насух Принцип: убрать окончание -о.
Проигрыватель — Проигрывател Убираем завершающее суффиксальное окончание. На самом деле здесь в составе слова есть приставка про- и суффикс -атель; основание как раз без окончания -ь.
Предательство — Предательств Убираем окончание -о.
Наедине — Наедин Убираем окончание -е.
Синицын — Синицын Если считать окончанием нулевым, основание совпадает с формой слова. Но часто в таких заданиях рассматривают суффикс -ын как часть образования фамилии, и базой может быть "синиц" (без суффикса -ын). Выберите вариант, который требует ваш преподаватель.
Если хотите, скажите, как именно у вас принято выделять основание (включать ли приставку в основание или считать основание корень + суффикс без приставки). Тогда дам точный набор под ваш формат.