Космический корабль массой m=15 т двигается с постоянной скоростью v=200 м/с в глубоком космосе далеко от любых объектов. В момент времени t=0 у него включается двигатель, который создаёт постоянную силу тяги F=105 кН. Двигатель установлен таким образом, что сила тяги направлена под постоянным углом α=60∘ к фюзеляжу (корпусу) корабля. Корабль движется таким образом, что вектор его скорости всегда остается направленным вдоль фюзеляжа. По какой траектории будет двигаться корабль после включения двигателя? По прямой По спирали По синусоиде По окружности

Ответ: по спирали. Пояснения пошагово - Дано: - m = 15 тонн = 15000 кг - F = 105 кН = 105000 Н - α = 60° (угол тяги к фюзеляжу; скорость в любой момент направлена вдоль фюзеляжа) - v(0) = 200 м/с - Ускорение, величина и направления: - Полное ускорение F/m = 105000 / 15000 = 7 м/с^2 - Тангенциальная составляющая (вдоль скорости): a_t = (F/m) cos α = 7 · cos 60° = 7 · 0.5 = 3.5 м/с^2 - Нормальная составляющая (перпендикулярная скорости): a_n = (F/m) sin α = 7 · sin 60° ≈ 7 · 0.8660 ≈ 6.062 м/с^2 - Как изменяются скорость и направление: - Скорость растет по закону dv/dt = a_t = 3.5 м/с^2, значит v(t) = v0 + a_t t = 200 + 3.5 t - Направление движения меняется из-за нормальной составляющей. Величина кривизны траектории κ равна a_n / v^2, поэтому скорость поворота направления удовлетворяет dθ/dt = κ v = a_n / v - Связь между изменением направления и скоростью: - dθ/dt = a_n / v и dv/dt = a_t (постоянны) - Отсюда dθ/dv = (dθ/dt) / (dv/dt) = (a_n / v) / a_t = a_n / (a_t v) - Интегрируя: θ(v) = θ0 + (a_n / a_t) ln(v / v0) где θ0 = начальный угол направления скорости (для начала движения он равен 0), v0 = 200 м/с - Что это значит для траектории: - Скорость растет линейно во времени, направление поворачивает всё сильнее, но меньшими темпами по мере роста скорости. - У траектории есть вращение с постоянной нормальной составляющей ускорения и постоянной tangентной. В итоге траектория является спиралью (логарифмической спиралью) в плоскости движения. - По мере роста v кривизна κ = a_n / v^2 уменьшается, и спираль распахивается, но вращение направления продолжается. Итак, ответ: корабль будет двигаться по спирали.