Точка С лежит на отрезке АВ. Через ТочкуА проведена плоскость.а через Точки В н С параллельные прямые, пересскающие эту плоскость в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1 если…

Решение.

Дано plane P, проходящая через точку A. Через точки B и C проведены параллельные друг другу прямые, которые пересекают плоскость P в точках B1 и C1 соответственно. Задано BB1 = 20 см. Точка C лежит на отрезке AB и AC:CB = 3:2, т.е. AC/AB = 3/(3+2) = 3/5.

Цель: найти CC1.

Шаг 1. Введем направление d параллельных прямых l_B и l_C, по которым строятся переходы B → B1 и C → C1. Пусть

• B1 = B + t_B d
• C1 = C + t_C d где t_B и t_C такое, что B1 и C1 лежат в плоскости P.

Шаг 2. Пусть P имеет нормаль n. Условие принадлежности точки X плоскости P: n · (X − A) = 0. Тогда для B1 и C1 получаем:

• n · (B + t_B d − A) = 0 → t_B = −n · (B − A) / (n · d)
• n · (C + t_C d − A) = 0 → t_C = −n · (C − A) / (n · d)

Шаг 3. Соотношение относительных смещений по одной и той же прямой(d общий для B и C): t_C / t_B = [n · (C − A)] / [n · (B − A)].

Шаг 4. Так как C лежит на AB, вектор C − A пропорционален B − A: C − A = (AC/AB)(B − A) и AC/AB = 3/5. Следовательно n · (C − A) = (3/5) n · (B − A), и значит t_C / t_B = 3/5.

Шаг 5. Длины CC1 и BB1 пропорциональны величинам t_C и t_B (поскольку CC1 = |t_C| |d| и BB1 = |t_B| |d|): CC1 / BB1 = t_C / t_B = 3/5.

Шаг 6. По условию BB1 = 20 см. Тогда CC1 = (3/5) · 20 см = 12 см.

Ответ: 12 см.