Прямая АМ проходит через вершину квадрата ABСD и не лежит в плоскости квадрата, угол МАД равен 45". Докажите, что прямые МА и ВС скрешиваются и найдите угол между ними

Дано. Квадрат ABCD лежит в плоскости, прямая AM проходит через вершину A и не лежит в этой плоскости. Угол MAD равен 45°. Нужно доказать, что прямые MA и BC скрещиваются, и найти угол между ними.

Решение

1. Введём координаты

• Пусть квадрат ABCD лежит в плоскости z = 0, сторона равна 1. Тогда можно взять A = (0, 0, 0), B = (1, 0, 0), C = (1, 1, 0), D = (0, 1, 0).
• Пусть М = (x, y, z) с z ≠ 0 (так как AM не лежит в плоскости квадрата).

2. Условие угла MAD = 45°

• Вектор AM = (x, y, z). Вектор AD = D − A = (0, 1, 0).
• Косинус угла между AM и AD равен: cos ∠MAD = (AM · AD) / (|AM| |AD|) = y / √(x^2 + y^2 + z^2) = √2/2.
• Следовательно y > 0 и выполняется равенство y^2 = (x^2 + y^2 + z^2) / 2, что эквивалентно x^2 + z^2 = y^2.

3. Скрещиваются ли MA и BC?

• Направление MA: (x, y, z). Направление BC: from B(1,0,0) до C(1,1,0) задаётся вектором (0, 1, 0).
• Параметрически: MA: A + t(MA) = (t x, t y, t z), t ∈ ℝ. BC: B + s(C − B) = (1, s, 0), s ∈ ℝ.
• Для наличия общего пункта нужно существование t и s such that t x = 1, t y = s, t z = 0.
• Так как z ≠ 0, из t z = 0 следует t = 0. Тогда t x = 0, что противоречит t x = 1. Значит точек пересечения нет.
• Следовательно, MA и BC не пересекаются. Поскольку направления MA и BC не параллельны ( MA имеет ненулевой компонент z, а BC — параллелен оси y в плоскости z = 0), линии MA и BC являются скрещивающимися.

4. Найдём угол между MA и BC

• Угол между двумя skew-линиями обычно берут равным углу между их направлениями: cos φ = |AM · BC| / (|AM| |BC|).
• Направление BC: (0, 1, 0). AM: (x, y, z). AM · BC = y, |BC| = 1, |AM| = √(x^2 + y^2 + z^2). поэтому cos φ = |y| / √(x^2 + y^2 + z^2).
• По пункту 2 имеем x^2 + z^2 = y^2, значит √(x^2 + y^2 + z^2) = √(y^2 + y^2) = √2 |y|. Подстановка даёт cos φ = |y| / (√2 |y|) = 1/√2.
• Следовательно φ = 45°.

Ответ

• Прямые MA и BC скрещиваются.
• Угол между ними равен 45°.