Добавь 1 точку в куб и сделай четырехугольное сечение

Вот подробное решение с объяснениями.

Цель: понять, как получить четырехугольное сечение куба после добавления точки.

Исходные данные (для простоты возьмём единичный куб): стороны куба равны a = 1, его вершины при координатах (0,0,0) до (1,1,1). Добавлена внутренняя точка P.

1. Добавим точку в куб

• Пример точki: P = (1/2, 1/2, 1/2) — центр куба. Любая внутренняя точка подойдёт, но центр максимизирует симметрию.

2. Как получить четырехугольное сечение Чтобы получить четырехугольное сечение, достаточно взять плоскость, которая пересекает куб и является параллельной одной из граней. Такая плоскость пересекает куб по квадрату (четырёхугольник).

• Выберем плоскость, проходящую через добавленную точку P и параллельную основанию (плоскость параллельна лицу, например, фронтальной или основанию): возьмём плоскость z = zP. В нашем случае zP = 1/2, значит плоскость z = 1/2.

3. Пересечение плоскости z = 1/2 с кубом

• Все точки пересечения имеют координату z = 1/2, а x и y могут варьироваться в пределах куба: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
• Следовательно, пересечение куба и плоскости z = 1/2 — это множество точек (x, y, 1/2) с 0 ≤ x ≤ 1 и 0 ≤ y ≤ 1.
• Геометрически это квадрат в плоскости z = 1/2 с вершинами: (0, 0, 1/2), (1, 0, 1/2), (1, 1, 1/2), (0, 1, 1/2).

4. Что получается по форме

• Это четырехугольник, точнее квадрат: стороны длины 1 (для единичного куба).
• Если общий размер куба равен a, то пересечение плоскостью z = z0 (0 < z0 < a) будет квадратом со стороной a.

Почему так

• Плоскость z = z0 параллельна основанию и проходит внутри куба, поэтому пересечение образует полный прямоугольник в проекции на плоскость XY. Так как 0 ≤ x ≤ a и 0 ≤ y ≤ a, получаем квадрат со сторонами a.

Итого

• Добавленная точка P служит ориентиром для выбора плоскости.
• Выбранная плоскость z = zP даёт квадратное (четырёхугольное) сечение куба.
• Пример: сечение куба единичного размера по плоскости z = 1/2 даёт квадрат с вершинами (0,0,1/2), (1,0,1/2), (1,1,1/2), (0,1,1/2).

Дополнительно (на будущее, если нужно разнообразие):

• Любая плоскость, параллельная грани куба, даст квадратное или прямоугольное сечение (для куба это квадрат).
• Чтобы получить другое четырехугольное сечение, можно выбрать плоскость, проходящую через P и параллельную не оси, а, скажем, диагонали грани — тогда пересечение всё равно будет четырехугольником, но форма будет ромбом/прямоугольником в зависимости от ориентации. Но для простого и наглядного примера достаточно плоскости z = zP.