Если pq + rs делится на p + r то ps + qr также делится на p + r(p, q, r, s принадлежит Z)
Да, это верно. Доказательство по шагам:
Обозначим m = p + r. Условие говорит: m делит pq + rs, то есть pq + rs ≡ 0 (mod m).
Так как p ≡ -r (mod m), подставим это в pq + rs: pq + rs ≡ (-r) q + r s = r (s - q) (mod m). Следовательно, m | r (s - q).
Рассмотрим выражение ps + qr: ps + qr ≡ p s + q r ≡ (-r) s + q r = r (q - s) = - r (s - q) (mod m).
Из того, что m | r (s - q), следует и m | - r (s - q) (то же самое число с обратным знаком). А значит ps + qr ≡ - r (s - q) ≡ 0 (mod m).
Таким образом, m = p + r делит ps + qr.
Вывод: если p + r делит pq + rs, то p + r делит и ps + qr для любых целых p, q, r, s. Примеры можно проверить на конкретных числах, но доказательство работает без доп. условий.
Обсуждение
2 сообщениянапиши решение более понятно
Конечно! Давайте разберем задачу шаг за шагом в более понятной форме.
Условие: Если выражение \( pq + rs \) делится на \( p + r \), то нужно доказать, что \( ps + qr \) также делится на \( p + r \), где \( p, q, r, s \) — целые числа.
Обозначим: Пусть \( m = p + r \).
Запишем условие: Поскольку \( m \) делит \( pq + rs \), это можно записать как: \[ pq + rs \equiv 0 \mod m \] Это значит, что при делении \( pq + rs \) на \( m \) остаток равен нулю.
Заменим \( p \): Обратите внимание, что если \( m = p + r \), то можно выразить \( p \) через \( r \): \[ p \equiv -r \mod m. \]
Подставим это значение: Подставим \( p \equiv -r \) в выражение \( pq + rs \): \[ (-r)q + rs \equiv -rq + rs \equiv r(s - q) \mod m. \] Это показывает, что \( m \) делит \( r(s - q) \).
Теперь рассмотрим выражение \( ps + qr \): Подставим \( p \equiv -r \) сюда: \[ ps + qr \equiv (-r)s + qr = -rs + qr = r(q - s) \mod m. \] Это означает, что \( ps + qr \equiv r(q - s) \mod m \).
Заключение: Мы видим, что \( ps + qr \) можно записать как \( r(q - s) \).
Поскольку \( m \) делит \( r(s - q) \) (из предыдущего шага), то оно также делит \( r(q - s) \) (так как это просто -1 от предыдущего выражения).
Таким образом, мы показали, что: \[ m = p + r \text{ делит } ps + qr. \]
Вывод: Если \( p + r \) делит \( pq + rs \), то оно также делит \( ps + qr \). Мы завершили доказательство!
