Среди 100 курсантов мореходного училища 75 имеют рост меньше 1 м 80 см и 25 — рост, больший или равный 1 м 80 см. Найти вероятность того, что среди трех случайно встреченных…
Среди 100 курсантов мореходного училища 75 имеют рост меньше 1 м 80 см и 25 — рост, больший или равный 1 м 80 см. Найти вероятность того, что среди трех случайно встреченных курсантов двое окажутся ниже, а один выше 1 м 80 см. Объясни понятными символами
Цель задачи: понять и посчитать вероятность. Ниже подробное решение.
Дано:
- Всего курсантов N = 100
- Ниже 1,80 м: n_short = 75
- Выше или равен 1,80 м: n_tall = 25
- Нужно найти вероятность того, что среди трёх случайно встреченных курсантов двое будут ниже 1,80 м, а один — выше или равен 1,80 м (без замены).
- Модель задачи
- Мы выбираем 3 курсантов без замены из популяции 100, где 75 коротких и 25 высоких.
- Это задача гипергеометрической вероятности: вероятность выбрать ровно 2 коротких и 1 высокого.
- Формула P(2 short и 1 tall) = [C(n_short, 2) * C(n_tall, 1)] / C(N, 3)
Где C(a, b) — число сочетаний (a над b).
- Вычисления
C(75, 2) = 75·74 / 2 = 2775
C(25, 1) = 25
Произведение: 2775 · 25 = 69375
C(100, 3) = 100·99·98 / 6 = 161700
Тогда P = 69375 / 161700. Упростим дробь:
- gcd(69375, 161700) = 75
- 69375 / 75 = 925
- 161700 / 75 = 2156
Итак, P = 925 / 2156 ≈ 0.4289 (≈ 42.89%).
- Быстрое сравнение (бинарная аппроксимация) Если считать по приближению биномиального распределения (с заменой):
- p = вероятность короткого = 75/100 = 0.75
- P(2 short, 1 tall) = C(3,2) · p^2 · (1 − p) = 3 · (0.75)^2 · 0.25 = 0.421875
Разница с точным значением невелика, но точное решение без замены даёт 0.4289.
Итоговый ответ: Вероятность того, что среди трёх случайно встретившихся курсантов двое ниже 1,80 м, а один выше или равен 1,80 м, равна 925/2156 ≈ 0.4289 (примерно 42.89%).
