открывшееся в 1871 году первая выставка художников-передвижников продемонстрировала существование нового направления складывавшегося на протяжении 60-х годов XIX века. нужно ли…

Коротко: да, запятые нужны. Правильная форма и пунктуация будут такой:

Первая выставка художников-передвижников, открывшаяся в 1871 году, продемонстрировала существование нового направления, складывавшегося на протяжении 60-х годов XIX века.

Обоснование по шагам:

• Ваша основная конструкция: подлежащее — «Первая выставка…», сказуемое — «продемонстрировала».
• Причастие, поясняющее подлежащее, должно согласовываться по роду и числу: feminine singular «выставка» требует «открывшаяся» (или «открывшаяся»). В исходной фразе было «открывшееся», что не согласуется с женским родом «выставка».
• Деепричастные/причастные обороты на первом месте часто обособляются запятыми, если являются добавочными пояснениями. Поэтому оборот «, открывшаяся в 1871 году, » отделён с обеих сторон.
• В части «существование нового направления складывавшегося на протяжении 60-х годов XIX века» формулировка с упором на временной признак звучит естественно как пояснение к направлению. Вариант с обособлением делает это пояснение явно отделённым: «…направления, складывавшегося…». Это чаще читается как уточняющее пояснение, не изменяющее основную мысль.
• Альтернатива без запятой перед «складывавшегося» возможна, если считать этот оборот строго определяющим и не отделять его; однако такая версия менее читаема и реже встречается в школьной практике.

Если нужно, могу привести ещё пару вариантов стилистики (например, без второй запятой или с другим порядком слов).