В классе 20 учеников. В контрольной три задачи. Первую решило 15 учеников. Вторую 14, третью 7. Три задачи не решил никто. Сколько человек решило две задачи

Ответ: число людей, решивших две задачи, может быть 16, 17 или 18. Точное значение не определяется единственность данных. Пояснение: - Обозначим A, B, C как множества учащихся, решивших задачи 1, 2 и 3 соответственно. Тогда: |A| = 15, |B| = 14, |C| = 7. - Говорят, что никто не решил все три задачи, значит пересечение A ∩ B ∩ C пусто. - Пусть x — число учащихся, решивших ровно одну задачу; y — число учащихся, решивших ровно две задачи; z — число учащихся, не решивших ни одной. - Общее число решений задач равно 15 + 14 + 7 = 36. Это равно x + 2y (каждый из тех, кто решил ровно одну задачу, даёт 1, каждый из тех, кто решил ровно две, даёт 2). - Всего учащихся — 20, поэтому x + y + z = 20. - Из неотрицательности z следует: z = 20 − (x + y) ≥ 0 ⇒ x + y ≤ 20. - Подставляя x = 36 − 2y получаем: 36 − 2y + y ≤ 20 ⇒ 36 − y ≤ 20 ⇒ y ≥ 16. - Также x ≥ 0 даёт 36 − 2y ≥ 0 ⇒ y ≤ 18. - Следовательно, y ∈ {16, 17, 18}. Каждое из этих значений реально осуществимо в соответствующей конфигурации распределения. Например, при y = 18 можно выбрать поразрядно так, чтобы A = 15, B = 14, C = 7, например, 11 человек решали A и B, 4 — A и C, 3 — B и C; тогда никто не решал все три, и всего 18 человек решили по две задачи.