|x²+6x+8| график

Задача: построить график функции y = |x^2 + 6x + 8| (алгебра, 10 класс; цель — понять). Пошаговое решение и разбор 1) Разложим внутри модуль на множители x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) Значения внутри модуля обращаются в ноль при x = -4 и x = -2. 2) Определим знак функции без модуля Интервалы по точкам разрыва: (-∞, -4], [-4, -2], [-2, ∞) - При x = -5: (x+2)(x+4) = (-3)(-1) = 3 > 0 - При x = -3: (x+2)(x+4) = (-1)(1) = -1 < 0 - При x = 0: (x+2)(x+4) = (2)(4) = 8 > 0 Значит: x^2 + 6x + 8 > 0 на внешних интервалах (-∞, -4) и (-2, ∞), и < 0 на промежутке (-4, -2). 3) Запишем график |f(x)| как кусочно-определённую функцию Поскольку внутри модуля меняет знак, получаем: - Для x ≤ -4: y = x^2 + 6x + 8 - Для -4 ≤ x ≤ -2: y = -(x^2 + 6x + 8) = -x^2 - 6x - 8 - Для x ≥ -2: y = x^2 + 6x + 8 Эти три части соединяются в вершинах x = -4 и x = -2, где y = 0. 4) Геометрия и ключевые точки - Корни внутри модуля: x = -4 и x = -2 => на графике пересечения с осью Ox в этих точках y = 0. - Внутренняя часть (-4 ≤ x ≤ -2) задаётся параболой y = -(x^2 + 6x + 8) — это парабола с отрицательным коэффициентом и вершиной в x = -3. Вершина внутренней части: x = -b/(2a) для -x^2 - 6x - 8 → a = -1, b = -6 → вершина в x = -(-6)/(2·-1) = -3. Значение в вершине: y(-3) = -((-3)^2) - 6(-3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1. То есть центральная часть имеет максимум y = 1 в точке (-3, 1). - Внешние части (x ≤ -4 и x ≥ -2): параболы y = x^2 + 6x + 8, чья вершина в точке x = -3 имеет значение y = -1, но это значение относится к исходной параболе до взятия модуля. После модуля вершина в этой области поднимается вверх и к бесконечности, поэтому внешние ветви уходят наверх. - Ось симметрии графика y = |x^2 + 6x + 8|: по формулам видно, что выражение можно записать как y = |(x+3)^2 - 1|, следовательно график симметричен относительно вертикальной прямой x = -3. 5) Диапазон значений - Так как модуль делает всё неотрицательным, минимальное значение y = 0 достигается в точках x = -4 и x = -2. - График уходит вверх без верхней границы при |x| → ∞. - Поэтому диапазон: y ∈ [0, ∞). В середине между -4 и -2 есть локальный максимум y = 1 в точке (-3, 1). 6) Как нарисовать график (практическая инструкция) - Нарисуйте параболу f(x) = x^2 + 6x + 8 = (x+3)^2 - 1. Ее вершина в (-3, -1), нули в (-4, 0) и (-2, 0). - Затем возьмите модуль: над участком, где f(x) ≥ 0, график y = f(x) остаётся на месте; над участком, где f(x) < 0, график отражается вниз: y = -f(x). В итоге участок между -4 и -2 превращается в параболу вниз-вверх так, чтобы в концах было 0 и в середине максимум 1. - В результате получаются две внешние ветви парабол y = x^2 + 6x + 8 (для x ≤ -4 и для x ≥ -2) и одна внутренняя ветвь, задаваемая y = -(x^2 + 6x + 8) на [-4, -2], с вершиной в (-3, 1). - График симметричен относительно оси x = -3. Кратко можно записать итоговую формулу: y = { x^2 + 6x + 8, если x ≤ -4 или x ≥ -2 -(x^2 + 6x + 8), если -4 ≤ x ≤ -2 } Или, в более компактной форме через квадрат: y = |(x + 3)^2 - 1|. Если нужна, могу привести чертёж или набор точек для наброска (например, значения y при x = -6, -5, -4.5, -3, -2.5, -2).