построй график g(x)=√x+3

Задача: построить график g(x) = √x + 3.

Решение и объяснение (для 10-го класса, цель: понять)

1. Преобразование графика

• Базовая функция: f(x) = √x. Ее график начинается в точке (0, 0) и идёт вверх вправо, с возрастанием и убыванием скорости (график выпуклый, concave down).
• g(x) = √x + 3 означает вертикальный сдвиг вверх на 3 единицы. То есть график f(x) поднялся на 3.

2. Домен и диапазон

• Домен: x ≥ 0 (так же, как у √x).
• Диапазон: y ≥ 3 (потому что минимальное значение g(x) достигается в x = 0: g(0) = 3).

3. Пересечения

• y-перехват: при x = 0 получаем g(0) = 3, значит график пересекает ось y в точке (0, 3).
• X-пересечение: решение g(x) = 0 невозможно, потому что √x ≥ 0, а √x + 3 ≥ 3. Поэтому пересечений с осью Ox нет.

4. Примеры точек (для построения):

• x = 0: g(0) = 3 → (0, 3)
• x = 1: g(1) = √1 + 3 = 1 + 3 = 4 → (1, 4)
• x = 4: g(4) = √4 + 3 = 2 + 3 = 5 → (4, 5)
• x = 9: g(9) = √9 + 3 = 3 + 3 = 6 → (9, 6)
• Можно взять и промежуточные: x = 2 → g(2) ≈ 1.414 + 3 ≈ 4.414; x = 3 → ≈ 1.732 + 3 ≈ 4.732.

5. Описание графика

• График начинается в точке (0, 3) и далее возрастает вправо, постепенно замедляясь (функция √x растёт медленно).
• Форма: изогнутая дуга вверх, выпукла вниз (concave down) на всём промежутке x ≥ 0.
• Область графика ограничена снизу точкой (0, 3).

6. Как построить на чертеже (пошагово)

• Нарисуйте координатные оси. Отметьте ось x и ось y.
• Отметьте точку (0, 3) и поставьте там начальную точку графика.
• Проставьте несколько других точек: (1, 4), (4, 5), (9, 6) и т. п.
• Соедините точки плавной, без плавников кривой, помня, что график идёт вправо, резко не «взлетает» и плавно поднимается.
• Обозначьте область графика: x ≥ 0, y ≥ 3.

7. Дополнительно: обратная функция

• Если нужно, можно найти обратную функцию. Поскольку y = √x + 3, y − 3 = √x, возведение в квадрат даёт x = (y − 3)².
• Следовательно, обратная функция: g⁻¹(x) = (x − 3)², с доменом x ≥ 3 (потому что выходы g(x) ≥ 3).

Итог

• Домен: [0, ∞)
• Диапазон: [3, ∞)
• Начальная точка графика: (0, 3)
• Основная идея построения: вертикальный сдвиг вверх на 3 единицы от √x.

Если хотите, могу привести готовую табличку координат на другом диапазоне x или нарисовать приближённый чертёж на ASCII-диаграмме.