Задача: (a-3)/(a^2-9a+20) − (a-5)/(a^2-7a+12)
Поясним подробно, чтобы понять процесс.
- Разложим знаменатели на множители
- a^2 − 9a + 20 = (a − 5)(a − 4)
- a^2 − 7a + 12 = (a − 3)(a − 4)
И имеем выражение:
(a − 3)/[(a − 5)(a − 4)] − (a − 5)/[(a − 3)(a − 4)]
- Приведём к общему знаменателю
Общий знаменатель: (a − 5)(a − 4)(a − 3)
Первая дробь к общему знаменателю умножается на (a − 3):
(a − 3)^2 / [(a − 5)(a − 4)(a − 3)]
Вторая дробь к общему знаменателю умножается на (a − 5):
(a − 5)^2 / [(a − 3)(a − 4)(a − 5)]
Разность становится:
[(a − 3)^2 − (a − 5)^2] / [(a − 5)(a − 4)(a − 3)]
- Упростим числитель
Используем разность квадратов:
(a − 3)^2 − (a − 5)^2 = [(a − 3) − (a − 5)] · [(a − 3) + (a − 5)]
= (2) · (2a − 8) = 4a − 16 = 4(a − 4)
Тогда получается:
4(a − 4) / [(a − 5)(a − 4)(a − 3)]
- Сократим общий множитель
Можно сократить (a − 4) (при условии a ≠ 4):
4 / [(a − 5)(a − 3)], где a ≠ 3, 4, 5
Ответ
Итоговая упрощённая форма: 4 / [(a − 5)(a − 3)], при a ≠ 3, 4, 5.
Проверка (для проверки понимания): возьмём, например, a = 6
Оригинал: (6−3)/[(36−54+20)] − (6−5)/[(36−42+12)] = 3/2 − 1/6 = 9/6 − 1/6 = 8/6 = 4/3
Упрощённо: 4/[(6−5)(6−3)] = 4/(1·3) = 4/3. Совпадает.
