45, 60 и 105

Похоже, задача часто встречается как поиск наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) для трёх чисел: 45, 60 и 105. Ниже разберём оба варианта подробно.

1. НОД(45, 60, 105) — наибольший общий делитель

• Разложим числа на простые множители:
  • 45 = 3^2 × 5
  • 60 = 2^2 × 3 × 5
  • 105 = 3 × 5 × 7
• Общие простые множители: 3 и 5. Возьмём минимальные степени, которые встречаются во всех трёх разложениях:
  • для 3: минимальная степень — 3^1
  • для 5: минимальная степень — 5^1
• НОД = 3 × 5 = 15.

Проверка другим способом (параллельно с изначальным подходом):

• gcd(45, 60) = 15 (проверяем: 45 = 15×3, 60 = 15×4)
• gcd(15, 105) = 15 (105 = 15×7)
• Значит, НОД(45, 60, 105) = 15.

Ответ: НОД = 15.

2. НОК(45, 60, 105) — наименьшее общее кратное

• По тем же простым разложениям берём максимальные степени каждого простого множителя:
  • 2^2 (из числа 60)
  • 3^2 (из числа 45)
  • 5^1
  • 7^1
• НОК = 2^2 × 3^2 × 5 × 7 = 4 × 9 × 5 × 7 = 36 × 35 = 1260.

Проверка через попарное НОК:

• НОК(45, 60) = (45 × 60) / НОД(45, 60) = 2700 / 15 = 180
• НОК(180, 105) = (180 × 105) / НОД(180, 105)
  • НОД(180, 105) = 15
  • НОК = (180 × 105) / 15 = 12 × 105 = 1260

Ответ: НОК = 1260.

Кратко:

• НОД(45, 60, 105) = 15
• НОК(45, 60, 105) = 1260

Если нужно, могу разобрать и другие способы решения, привести примеры дляSimilar задач или ответить на конкретный вопрос учителя (например, только НОД или только НОК). Хотите ещё примеры или другую задачу на эту же тему?