Циклотрон - это установка, ускоряющая заряженные частицы при помощи электрического и постоянного магнитного поля. Протон внутри циклотрона с частотой генератора и = 14 МГц…
Циклотрон - это установка, ускоряющая заряженные частицы при помощи электрического и постоянного магнитного поля. Протон внутри циклотрона с частотой генератора и = 14 МГц ускоряется электрическим полем, которое создаётся напряжением U = 3 кВ. Максимальный радиус орбиты R = 40 см. Считать, что в начальный момент кинетическая энергия протона равна нулю. Определи, за какое время протон ускорится до выхода из циклотрона. Справочные данные: масса протона 1,673 - 10-27 кг. (Ответ округли до целых.)
Решение без указания предмета/класса, по принципу средней школы, с пошаговыми пояснениями.
Дано:
- Частота генератора f = 14 МГц
- Напряжение ускорения U = 3 кВ
- Максимальный радиус орбиты R = 0,4 м
- Масса протона m = 1,673×10^-27 кг
- Заряд протона q = e ≈ 1,602×10^-19 Кл
- Найдём магнитное поле B по частоте циклотронного резонанса Для циктотронной частоты f_c выполняется f_c = qB/(2πm). Тогда B = 2πm f / q.
B ≈ (2π × 1,673×10^-27 кг × 14×10^6 Гц) / (1,602×10^-19 Кл) ≈ 0,92 Тл.
- Линейная зависимость скорости от радиуса Для нерелятивистской аппроксимации радиус орбиты r = mv/(qB) => v = (qB/m)·r = ω r, где ω = qB/m.
Значит, на выходе из циклотрона при радиусе R = 0,4 м скорость будет v_R = ω R, где ω = qB/m = (1,602×10^-19)/(1,673×10^-27) × B ≈ 8,80×10^7 s^-1. Тогда v_R ≈ (8,80×10^7 s^-1) × 0,4 м ≈ 3,52×10^7 м/c.
КПД энергии на выходе Кинетическая энергия на выходе: K_R = (1/2) m v_R^2 ≈ 0,5 × (1,673×10^-27 кг) × (3,52×10^7 м/с)^2 ≈ 1,03×10^-12 Дж ≈ 6,4 МeВ.
Энергия, прибавляемая за одно прохождение через зазор Энергия за одно ускорение = qU = e × 3000 В ≈ (1,602×10^-19 Кл) × (3×10^3 В) ≈ 4,81×10^-16 Дж ≈ 3 кeV.
Число ускорений (перелётов через зазор), необходимое для достижения K_R N ≈ K_R / (qU) ≈ (1,03×10^-12 Дж) / (4,81×10^-16 Дж) ≈ 2,15×10^3 прохождений.
Время между ускорениями Период полного оборота: T = 2π/ω. Тогда время между прохождениями через зазор (пополам оборота): Δt = T/2 = π/ω ≈ π / (8,80×10^7 s^-1) ≈ 3,57×10^-8 с.
Общее время разгона до выхода t = N · Δt ≈ (2,15×10^3) × (3,57×10^-8 с) ≈ 7,7×10^-5 с.
Ответ Протон ускорится до выхода из циклотрона примерно за t ≈ 7,7×10^-5 секунд, что равно примерно 77 микросекунд. При необходимости можно записать как t ≈ 7,7×10^-5 с или ≈ 77 μс.
Дополнение: скорость на выходе примерно 0,12 c, поэтому нерелятивистское приближение здесь оправдано и коррекции несложные.
