763 в 8 степени

Задача: 763 в 8 степени (763^8) Цель: понять и получить подробное решение.

Метод: возведение в степень по схеме возведения в квадрат (экспоненциация сначала до квадрата, затем до четверти и восьмой степени).

1. Сначала возведём в квадрат:

• 763^2 = 763 × 763 = 582,169.

2. Затем возведём в четвертую степень, возведя результат в квадрат:

• 763^4 = (763^2)^2 = 582,169^2.
• Чтобы посчитать 582,169^2, удобнее разложить 582,169 на 582,000 + 169:
  • (582,000 + 169)^2 = 582,000^2 + 2·582,000·169 + 169^2
  • 582,000^2 = 338,724,000,000
  • 2·582,000·169 = 1,164,000·169 = 196,716,000
  • 169^2 = 28,561
  • Сумма: 338,724,000,000 + 196,716,000 + 28,561 = 338,920,744,561
• Значит, 763^4 = 338,920,744,561.

3. Наконец найдём восьмую степень, возведя в квадрат ещё раз:

• 763^8 = (763^4)^2 = 338,920,744,561^2.
• Пусть a = 338,920,744,561 = 338,920,000,000 + 744,561. Тогда a^2 = (338,920,000,000)^2 + 2·(338,920,000,000)·744,561 + 744,561^2.

Вычисления:

• (338,920,000,000)^2 = (338,920^2)·10^12 = 114,866,766,400,000,000,000,000 (поскольку 338,920^2 = 114,866,766,400).
• 2·(338,920,000,000)·744,561 = 2 · 338,920,000,000 · 744,561 = 504,693,228,240,000,000
• 744,561^2 = 554,371,082,721

Суммируем: 114,866,766,400,000,000,000,000 +0,504,693,228,240,000,000 +0,000,000,554,371,082,721 = 114,867,271,093,782,611,082,721

Ответ: 763^8 = 114,867,271,093,782,611,082,721

Проверка по модулю 1000: последние три цифры должны быть 721 (поскольку 763^2 заканчивается на 169, затем 169^2 заканчивается на 561, затем 561^2 заканчивается на 721). Наш результат оканчивается на 721, что согласуется с проверкой. Также порядок величины ~ 1.15 × 10^23, что соответствует 24 цифрам.