763 в 8 степени

Задача: 763 в 8 степени (763^8) Цель: понять и получить подробное решение. Метод: возведение в степень по схеме возведения в квадрат (экспоненциация сначала до квадрата, затем до четверти и восьмой степени). 1) Сначала возведём в квадрат: - 763^2 = 763 × 763 = 582,169. 2) Затем возведём в четвертую степень, возведя результат в квадрат: - 763^4 = (763^2)^2 = 582,169^2. - Чтобы посчитать 582,169^2, удобнее разложить 582,169 на 582,000 + 169: - (582,000 + 169)^2 = 582,000^2 + 2·582,000·169 + 169^2 - 582,000^2 = 338,724,000,000 - 2·582,000·169 = 1,164,000·169 = 196,716,000 - 169^2 = 28,561 - Сумма: 338,724,000,000 + 196,716,000 + 28,561 = 338,920,744,561 - Значит, 763^4 = 338,920,744,561. 3) Наконец найдём восьмую степень, возведя в квадрат ещё раз: - 763^8 = (763^4)^2 = 338,920,744,561^2. - Пусть a = 338,920,744,561 = 338,920,000,000 + 744,561. Тогда a^2 = (338,920,000,000)^2 + 2·(338,920,000,000)·744,561 + 744,561^2. Вычисления: - (338,920,000,000)^2 = (338,920^2)·10^12 = 114,866,766,400,000,000,000,000 (поскольку 338,920^2 = 114,866,766,400). - 2·(338,920,000,000)·744,561 = 2 · 338,920,000,000 · 744,561 = 504,693,228,240,000,000 - 744,561^2 = 554,371,082,721 Суммируем: 114,866,766,400,000,000,000,000 +0,504,693,228,240,000,000 +0,000,000,554,371,082,721 = 114,867,271,093,782,611,082,721 Ответ: 763^8 = 114,867,271,093,782,611,082,721 Проверка по модулю 1000: последние три цифры должны быть 721 (поскольку 763^2 заканчивается на 169, затем 169^2 заканчивается на 561, затем 561^2 заканчивается на 721). Наш результат оканчивается на 721, что согласуется с проверкой. Также порядок величины ~ 1.15 × 10^23, что соответствует 24 цифрам.