найти область определения выражения √х²-3х-4 / √х+3-3
Область определения: [-3,-1] ∪ [4,∞) \ {6}
Обсуждение
2 сообщенияподробное решение
Чтобы найти область определения выражения \( \frac{\sqrt{x^2 - 3x - 4}}{\sqrt{x + 3} - 3} \), нужно учитывать условия, при которых числитель и знаменатель являются действительными и знаменатель не равен нулю.
Шаг 1: Условия для числителя
Числитель \( \sqrt{x^2 - 3x - 4} \) определен, если подкоренное выражение неотрицательно:
\[ x^2 - 3x - 4 \geq 0 \]
Чтобы решить неравенство, найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x - 4 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] \[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]
Координаты корней: \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -1 \). Теперь определим знаки выражения:
Интервал \( (-\infty, -1) \): подберем точку \( x = -2 \): \[ (-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 \quad (> 0) \]
Интервал \( (-1, 4) \): подберем точку \( x = 0 \): \[ 0^2 - 3(0) - 4 = -4 \quad (< 0) \]
Интервал \( (4, \infty) \): подберем точку \( x = 5 \): \[ 5^2 - 3(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 \quad (> 0) \]
Таким образом, \( x^2 - 3x - 4 \geq 0 \) на интервалах \( (-\infty, -1] \) и \( [4, \infty) \).
Шаг 2: Условия для знаменателя
Знаменатель \( \sqrt{x + 3} - 3 \) должен быть отличен от нуля и определен:
\( \sqrt{x + 3} \geq 0 \) требует, чтобы \( x + 3 \geq 0 \), т.е. \( x \geq -3 \).
Чтобы знаменатель не равнялся нулю: \[ \sqrt{x + 3} - 3 \neq 0 \Longrightarrow \sqrt{x + 3} \neq 3 \Longrightarrow x + 3 \neq 9 \Longrightarrow x \neq 6. \]
Шаг 3: Объединение условий
Теперь мы имеем два условия:
- \( x \in (-\infty, -1] \) или \( x \in [4, \infty) \) (по числителю).
- \( x \geq -3 \) и \( x \neq 6 \) (по знаменателю).
Теперь объединим эти условия:
Для первого интервала \( (-\infty, -1] \): пересечение с \( x \geq -3 \) дает \( [-3, -1] \).
Для второго интервала \( [4, \infty) \): пересечение с \( x \geq -3 \) остается \( [4, \infty) \), но нужно исключить 6.
Таким образом, область определения данного выражения:
\[ [-3, -1] \cup [4, 6) \cup (6, \infty) \]
Эта совокупность и есть ответ.
