Задача 1. В треугольнике АВС известно, что уголА равен 45°, угол В равен 60°, а сторона ВСравна10 см. Найдите длину стороны АС. Задача 2. В треугольнике DЕF стороны DЕ=8см, DF=5…

Ниже подробные решения для трёх задач.

Задача 1 Дано: угол A = 45°, угол B = 60°, сторона BC = 10 см. Найти сторону AC.

• Найдём угол C: A + B + C = 180°, значит C = 180° − (45° + 60°) = 75°.
• Данные подходят под теорему синусов: BC / sin A = AC / sin B.
• Поэтому AC = BC · sin B / sin A = 10 · sin 60° / sin 45°.
• sin 60° = √3/2, sin 45° = √2/2, следовательно sin B / sin A = (√3/2) / (√2/2) = √3/√2 = √(3/2) = √6/2.
• Значит AC = 10 · (√6/2) = 5√6 см ≈ 12.25 см.

Ответ: AC = 5√6 см (≈ 12.25 см).

Задача 2 Дано: DE = 8 см, DF = 5 см, угол D = 120°. Найти EF.

• Угол D расположен между сторонами DE и DF, следовательно применяем Закон косинусов: EF^2 = DE^2 + DF^2 − 2·DE·DF·cos(∠D).
• cos 120° = −1/2, значит: EF^2 = 8^2 + 5^2 − 2·8·5·(−1/2) = 64 + 25 + 40 = 129.
• EF = √129 ≈ 11.36 см.

Ответ: EF = √129 см ≈ 11.36 см.

Задача 3 Дано: KL = 6 см, KM = 9 см, угол LKM = 60° (то есть угол при вершине K между KL и KM). Найти: a) LM; b) sin угла KLM.

а) Найти LM

• Это угол между KL и KM, значит LM — сторона, противоположная уголу K.
• Используем Закон косинусов: LM^2 = KL^2 + KM^2 − 2·KL·KM·cos(∠K) = 6^2 + 9^2 − 2·6·9·cos60°.
• cos 60° = 1/2, так что: LM^2 = 36 + 81 − 2·6·9·(1/2) = 117 − 54 = 63.
• LM = √63 = 3√7 см ≈ 7.94 см.

Ответ (a): LM = 3√7 см ≈ 7.94 см.

б) Найти sin угла KLM

• Угол KLM — угол при вершине L, противолежащая сторона — KM = 9.
• По закону синусов: sin(∠L) / KM = sin(∠K) / LM.
• Значит sin(∠L) = KM · sin(∠K) / LM = 9 · sin 60° / √63.
• sin 60° = √3/2, √63 = 3√7, поэтому: sin(∠L) = 9 · (√3/2) / (3√7) = (3√3) / (2√7) = (3√21) / 14.
• Приблизительно: sin(∠L) ≈ 0.982.

Ответ (б): синус угла KLM равен 3√21/14 ≈ 0.982.