sin²x-4sinxcosx=5cos²x

Задача: sin^2(x) - 4 sin(x) cos(x) = 5 cos^2(x)

Пошаговое решение:

1. Перенесём все члены в одну сторону: sin^2(x) - 4 sin(x) cos(x) - 5 cos^2(x) = 0.

2. Проверим случай cos(x) = 0 (когда делить на cos^2(x) нельзя):

• cos(x) = 0 даёт x = π/2 + kπ.
• Тогда sin^2(x) = 1, а левая часть равна 1, правая часть 0. Значит таких x решений нет. Итак, можно делить на cos^2(x).

3. Делим на cos^2(x) (cos(x) ≠ 0): (sin^2(x))/(cos^2(x)) - 4 (sin(x) cos(x))/(cos^2(x)) - 5 = 0 то есть tan^2(x) - 4 tan(x) - 5 = 0, где t = tan(x).

4. Решим квадратное уравнение по переменной t: t^2 - 4t - 5 = 0 → (t - 5)(t + 1) = 0. Следовательно, t = 5 или t = -1.

5. Переходим к x:

• tan(x) = 5 → x = arctan(5) + kπ, где k ∈ Z.
• tan(x) = -1 → x = -π/4 + kπ, где k ∈ Z (эквивалентно x = 3π/4 + kπ).

6. Проверка промежуточно на cos(x) = 0 уже учтена выше; дополнительных решений не появилось.

Итоговые ответы: x = arctan(5) + kπ, k ∈ ℤ или x = -π/4 + kπ, k ∈ ℤ

Примерные значения:

• arctan(5) ≈ 1.3734 рад ≈ 78.69°
• -π/4 ≈ -0.7854 рад ≈ -45°

Если нужно, можно привести решение в виде набора значений на заданный период или проверить подстановкой.