"Найдите корень уравнения 2log85x-3=4."
Классно, давай разберёмся шаг за шагом и сравним с твоим ответом.
Как правильно понимать задачу Предположим, задача записана так: 2^{log_8(5x - 3)} = 4. Тут слева стоит показатель степени: основание 2, показатель логарифм по основанию 8 от (5x - 3). В некоторых вариантах пишут без скобок, но суть та же — речь именно о возведении в степень.
Правильное решение по шагам
- Применяем тождество a^{log_b c} = c^{log_b a}. Тогда 2^{log_8(5x - 3)} = (5x - 3)^{log_8 2}.
- Вычислим log_8 2. Так как 8 = 2^3, имеем log_8 2 = 1/3.
- Следовательно, (5x - 3)^{log_8 2} = (5x - 3)^{1/3} и уравнение становится: (5x - 3)^{1/3} = 4.
- Возведём обео стороны в куб: 5x - 3 = 64.
- Решаем: 5x = 67, x = 67/5 = 13.4.
Проверка Если 5x - 3 = 64, то log_8(5x - 3) = log_8 64 = 2, и левая часть 2^{log_8(5x-3)} = 2^2 = 4, что совпадает с правой частью. Домена: 5x - 3 > 0, то есть x > 0.6; избранное решение удовлетворяет.
Сравнение с твоим ответом Твой ответ: x = 5.8. Это не совпадает с верным значением 13.4. Проверим на практике:
- 5x - 3 = 5*5.8 - 3 = 29 - 3 = 26.
- Тогда левая часть: (5x - 3)^{1/3} = 26^{1/3} ≈ 2.96, а не 4; или если рассмотреть исходное выражение как 2^{log_8(5x - 3)}, то log_8 26 ≈ 1.567, и 2^{1.567} ≈ 2.96. В любом случае результат не равен 4.
- Почему так получилось Ты, вероятно, либо неправильно интерпретировал формулировку (действительно двойной смысл есть: 2^{log_8(5x-3)} и 2·log_8(5x-3) выглядят похоже, но решаются по разным формулам), либо сделал ошибку в преобразованиях. Правильное преобразование именно к форме (5x - 3)^{1/3} = 4 даёт единственный корень x = 13.4.
Если хочешь, могу привести ещё один способ решения (например, подстановку или логарифм по-другому), но результат будет тот же — x = 13.4.
Пожалуйста, оцените мой ответ лайком или дизлайком.
