Вариант 2. 1. Найти общий вид первообразных для функции. 1) y = x - 9 2) y = - 3 + 12x ^ 2 3) y = 3 - 5x + 18x ^ 2 4) y = 4cos x + 2sin x 5) y = sin x - 6x 2. Найти С, если график первообразной, проходит через точку М. 1) y = 4x - 3, M(- 1; 6) 2) y = 4x ^ 3 + 3x ^ 2 - 8x M(-1;-4) 3. Вычислить определенные интегралы: 1) integrate (x ^ 2 - 2x + 5) dx from - l to 2 2) integrate (8x ^ 3 + 4) dx from 0 to 2 3) 2dx 3) sinx

Ниже подробное решение задачи Варминта 2. Я учёл цель «Понять» и добавил пошаговые объяснения. 1) Найти общий вид первообразных (неопределённые интегралы) 1) y = x − 9 - Примем f(x) = x − 9. Общая первообразная F(x) = ∫(x − 9) dx = (1/2)x^2 − 9x + C. 2) y = −3 + 12x^2 - f(x) = −3 + 12x^2. Первообразная: F(x) = ∫(−3 + 12x^2) dx = −3x + 4x^3 + C. 3) y = 3 − 5x + 18x^2 - f(x) = 3 − 5x + 18x^2. Первообразная: F(x) = ∫(3 − 5x + 18x^2) dx = 3x − (5/2)x^2 + 6x^3 + C. 4) y = 4cos x + 2sin x - f(x) = 4cos x + 2sin x. Первообразная: F(x) = ∫(4cos x) dx + ∫(2sin x) dx = 4sin x − 2cos x + C. 5) y = sin x − 6x - f(x) = sin x − 6x. Первообразная: F(x) = ∫sin x dx − ∫6x dx = −cos x − 3x^2 + C. 2) Найти C, если график первообразной проходит через точку M 1) f(x) = 4x − 3, M(−1; 6) - Первообразная: F(x) = ∫(4x − 3) dx = 2x^2 − 3x + C. - Условие F(−1) = 6: 2(−1)^2 − 3(−1) + C = 6 → 2 + 3 + C = 6 → C = 1. - Ответ: F(x) = 2x^2 − 3x + 1. 2) f(x) = 4x^3 + 3x^2 − 8x, M(−1; −4) - Первообразная: F(x) = ∫(4x^3 + 3x^2 − 8x) dx = x^4 + x^3 − 4x^2 + C. - Условие F(−1) = −4: F(−1) = 1 − 1 − 4 + C = −4 + C = −4 → C = 0. - Ответ: F(x) = x^4 + x^3 − 4x^2. 3) Комментарий по третьему пункту. В тексте задачи он может быть неполным: написано «2dx 3) sinx», что может означать неопределённые интегралы ∫2dx и ∫sin x dx, либо недостающие пределы для ещё одного интеграла. Ниже приведены оба варианта: - Если речь идёт об неопределённых интегралах: - ∫ 2 dx = 2x + C - ∫ sin x dx = −cos x + C - Если же нужен третий определённый интеграл, нужно указать пределы. Сообщите, какие именно. 3) Вычислить определённые интегралы 1) ∫_{−1}^{2} (x^2 − 2x + 5) dx - Антидериватив: F(x) = (1/3)x^3 − x^2 + 5x. - Значения: F(2) = (8/3) − 4 + 10 = 8/3 + 6 = 26/3. F(−1) = (−1/3) − 1 − 5 = −19/3. - Результат: F(2) − F(−1) = 26/3 − (−19/3) = 45/3 = 15. 2) ∫_{0}^{2} (8x^3 + 4) dx - Антидериватив: F(x) = 2x^4 + 4x. - Значения: F(2) = 2·16 + 8 = 32 + 8 = 40. F(0) = 0. - Результат: 40. 3) Неясность в формулировке. Возможные варианты: - Если требовался третий неопределённый интеграл, то: - ∫ 2 dx = 2x + C - ∫ sin x dx = −cos x + C - Если же нужен третий определённый интеграл, уточните пределы или сам вид функции. Итоги: - Общие первообразные: перечислены выше. - Константа C подбирается по условию прохождения графика через точку M. - Два приведённых определённых интеграла дают 15 и 40 соответственно. - Для оставшейся части задачи с интегралом 3 нужен уточняющий текст (проверю и посчитаю точно).