Вариант 2. 1. Найти общий вид первообразных для функции. 1) y = x - 9 2) y = - 3 + 12x ^ 2 3) y = 3 - 5x + 18x ^ 2 4) y = 4cos x + 2sin x 5) y = sin x - 6x 2. Найти С, если график…

Ниже подробное решение задачи Варминта 2. Я учёл цель «Понять» и добавил пошаговые объяснения.

1. Найти общий вид первообразных (неопределённые интегралы)

2. y = x − 9

• Примем f(x) = x − 9. Общая первообразная F(x) = ∫(x − 9) dx = (1/2)x^2 − 9x + C.

2. y = −3 + 12x^2

• f(x) = −3 + 12x^2. Первообразная: F(x) = ∫(−3 + 12x^2) dx = −3x + 4x^3 + C.

3. y = 3 − 5x + 18x^2

• f(x) = 3 − 5x + 18x^2. Первообразная: F(x) = ∫(3 − 5x + 18x^2) dx = 3x − (5/2)x^2 + 6x^3 + C.

4. y = 4cos x + 2sin x

• f(x) = 4cos x + 2sin x. Первообразная: F(x) = ∫(4cos x) dx + ∫(2sin x) dx = 4sin x − 2cos x + C.

5. y = sin x − 6x

• f(x) = sin x − 6x. Первообразная: F(x) = ∫sin x dx − ∫6x dx = −cos x − 3x^2 + C.

2. Найти C, если график первообразной проходит через точку M

3. f(x) = 4x − 3, M(−1; 6)

• Первообразная: F(x) = ∫(4x − 3) dx = 2x^2 − 3x + C.
• Условие F(−1) = 6: 2(−1)^2 − 3(−1) + C = 6 → 2 + 3 + C = 6 → C = 1.
• Ответ: F(x) = 2x^2 − 3x + 1.

2. f(x) = 4x^3 + 3x^2 − 8x, M(−1; −4)

• Первообразная: F(x) = ∫(4x^3 + 3x^2 − 8x) dx = x^4 + x^3 − 4x^2 + C.
• Условие F(−1) = −4: F(−1) = 1 − 1 − 4 + C = −4 + C = −4 → C = 0.
• Ответ: F(x) = x^4 + x^3 − 4x^2.

3. Комментарий по третьему пункту. В тексте задачи он может быть неполным: написано «2dx 3) sinx», что может означать неопределённые интегралы ∫2dx и ∫sin x dx, либо недостающие пределы для ещё одного интеграла. Ниже приведены оба варианта:

• Если речь идёт об неопределённых интегралах:

  • ∫ 2 dx = 2x + C
  • ∫ sin x dx = −cos x + C

• Если же нужен третий определённый интеграл, нужно указать пределы. Сообщите, какие именно.

3. Вычислить определённые интегралы

4. ∫_{−1}^{2} (x^2 − 2x + 5) dx

• Антидериватив: F(x) = (1/3)x^3 − x^2 + 5x.
• Значения: F(2) = (8/3) − 4 + 10 = 8/3 + 6 = 26/3. F(−1) = (−1/3) − 1 − 5 = −19/3.
• Результат: F(2) − F(−1) = 26/3 − (−19/3) = 45/3 = 15.

2. ∫_{0}^{2} (8x^3 + 4) dx

• Антидериватив: F(x) = 2x^4 + 4x.
• Значения: F(2) = 2·16 + 8 = 32 + 8 = 40. F(0) = 0.
• Результат: 40.

3. Неясность в формулировке. Возможные варианты:

• Если требовался третий неопределённый интеграл, то:
  • ∫ 2 dx = 2x + C
  • ∫ sin x dx = −cos x + C
• Если же нужен третий определённый интеграл, уточните пределы или сам вид функции.

Итоги:

• Общие первообразные: перечислены выше.
• Константа C подбирается по условию прохождения графика через точку M.
• Два приведённых определённых интеграла дают 15 и 40 соответственно.
• Для оставшейся части задачи с интегралом 3 нужен уточняющий текст (проверю и посчитаю точно).