В параллелограмме АБСD проведены параллельные прямые AE и CF(рис.5.4). будет ли четырехугольник AECF параллелограммом?

Нет, не обязательно. Пример: возьмём параллелограмм ABCD с A(0,0), B(1,0), D(0,1), C(1,1). Пусть E лежит на AB: E(t,0) с 0<t<1, тогда AE ∥ AB. Тогда CF — прямая через C, параллельная AB, и она пересекает AD в D, следовательно F = D. Тогда A(0,0), E(t,0), C(1,1), F(0,1). AE ∥ CF, но EC имеет наклон 1/(1−t), а AF вертикальна, поэтому EC ∦ AF (для t<1). Значит AECF не параллелограмм в общем случае; единственный случай, когда будет — когда E = B и F = D, тогда AECF совпадает с ABCD.