3sin2x - 4sincosx + cos2x = 0

Задача: 3 sin 2x - 4 sin x cos x + cos 2x = 0

Пошаговое решение:

1. Подстановка базовых формул

• sin 2x = 2 sin x cos x
• cos 2x остаётся, можно оставить в виде cos 2x

Применим влево: 3 sin 2x - 4 sin x cos x + cos 2x = 3(2 sin x cos x) - 4 sin x cos x + cos 2x = (6 - 4) sin x cos x + cos 2x = 2 sin x cos x + cos 2x

2. Упростим дальше 2 sin x cos x можно записать как sin 2x, так что получаем: 2 sin x cos x + cos 2x = sin 2x + cos 2x = 0

3. Решение уравнения sin 2x + cos 2x = 0 Можно либо делить на cos 2x, либо привести в амплитудную форму.

• Амплитудная форма: sin 2x + cos 2x = √2 sin(2x + π/4) Значит √2 sin(2x + π/4) = 0, следовательно sin(2x + π/4) = 0.

4. Найдём 2x + π/4 sin(2x + π/4) = 0, значит: 2x + π/4 = kπ, где k ∈ Z

Отсюда: 2x = kπ − π/4 x = kπ/2 − π/8

Или компактнее: x = −π/8 + kπ/2, k ∈ Z

5. Примеры решений на отрезке [0, 2π) Если взять k = 1,2,3,4, получаем:

• k = 1: x = −π/8 + π/2 = 3π/8
• k = 2: x = −π/8 + π = 7π/8
• k = 3: x = −π/8 + 3π/2 = 11π/8
• k = 4: x = −π/8 + 2π = 15π/8

Итак, общий вид решения: x = −π/8 + kπ/2, k ∈ Z. В диапазоне [0, 2π): x ∈ {3π/8, 7π/8, 11π/8, 15π/8}.