Автомобиль движется прямолинейно и равномерно со скоростью 54 км/ч впереди него в том же направлении прямолинейно и равномерно движется мотороллер со скоростью 36 км/ч в начальный…
Автомобиль движется прямолинейно и равномерно со скоростью 54 км/ч впереди него в том же направлении прямолинейно и равномерно движется мотороллер со скоростью 36 км/ч в начальный момент времени t0 = 0 расстояние между ними 18 км За какое время автомобиль догонит мотороллер задачу решить аналогически и графически
Задача трактуется так: автомобиль идёт вперед быстрее мотороллера, мотороллер впереди него на 18 км. Нужно узнать, через какое время автомобиль догонит мотороллер.
Ответ: через 1 час (60 минут).
Пошаговое решение (аналитическое)
- Обозначения и данные
- Скорость автомобиля: v_c = 54 км/ч
- Скорость мотороллера: v_m = 36 км/ч
- Начальное положение: автомобиль в начале пути, x_c(0) = 0; мотороллер находится на 18 км впереди: x_m(0) = 18 км
- Время отсчёта t измеряем в часах.
- Математическое моделирование
- Положение автомобиля во времени: x_c(t) = v_c t = 54 t
- Положение мотороллера во времени: x_m(t) = x_m(0) + v_m t = 18 + 36 t
- Условие догоняния
- Догонят, когда они окажутся в одной точке: x_c(t) = x_m(t)
- Подставляем: 54 t = 18 + 36 t
- Решаем: 54t − 36t = 18 → 18t = 18 → t = 1 ч
- Проверка
- В t = 1 ч: x_c = 54·1 = 54 км; x_m = 18 + 36·1 = 54 км. Расстояние между ними стало 0.
- Перевод в более удобные единицы
- 1 час = 60 минут.
Графическое решение (аналогично)
- Построение графиков позиций vs времени
- Ось времени t (часы) по оси абсцисс, ось пути x (км) по оси ординат.
- Линия автомобиля: проходит через точку (0, 0) с наклоном 54, т.е. x_c(t) = 54 t.
- Линия мотороллера: проходит через точку (0, 18) с наклоном 36, т.е. x_m(t) = 18 + 36 t.
- Эти две прямые пересекаются в точке, где догоняют: t = 1 ч, x = 54 км.
- Табличка для наглядности (несколько точек)
- t = 0 ч: x_c = 0, x_m = 18
- t = 0.5 ч: x_c = 27, x_m = 18 + 18 = 36
- t = 1 ч: x_c = 54, x_m = 18 + 36 = 54 (пересечение)
- Видно, что разница D(t) между ними уменьшается линейно: D(t) = x_m(t) − x_c(t) = 18 − 18 t, и достигает 0 в t = 1 ч.
Итого: автомобиль догонит мотороллер через 1 час (60 минут). Графически догоняние соответствует пересечению двух прямых x_c(t) и x_m(t) на графике зависимости позиции от времени, а также нулю расстояния D(t) = 18 − 18 t в момент t = 1 ч.
