log1/3xlog1/3(3x-2)=log1/3(3x-2)
Задача: log_{1/3} x · log_{1/3} (3x-2) = log_{1/3} (3x-2)
- Домен
- Чтобы логарифмы были определены: x > 0 и 3x − 2 > 0.
- Отсюда x > 2/3.
Обозначим части уравнения Пусть A = log_{1/3} x и B = log_{1/3} (3x − 2). Тогда уравнение записывается как: A · B = B.
Разложим на случаи Из равенства A·B = B получаем B·(A − 1) = 0. Значит либо B = 0, либо A = 1.
Случай 1: B = 0 log_{1/3} (3x − 2) = 0 ⇒ 3x − 2 = 1 ⇒ x = 1. Этот x удовлетворяет условию domена (x > 2/3). Проверка: log_{1/3} x = log_{1/3} 1 = 0, log_{1/3} (3x−2) = log_{1/3} 1 = 0. Левой и правой части равно 0. Значит подходит.
Случай 2: A = 1 log_{1/3} x = 1 ⇒ x = (1/3)^1 = 1/3. Но тогда 3x − 2 = 3·(1/3) − 2 = −1, логарифм log_{1/3} (3x − 2) не определён. Этот вариант исключаем.
- Вывод Единственное допустимое решение: x = 1.
Проверка: подставляем x = 1 в исходное уравнение: log_{1/3} 1 · log_{1/3} (3·1 − 2) = log_{1/3} (1) ⇒ 0 · 0 = 0, что верно.
