3х2+8х-7=0
Задача: 3x^2 + 8x - 7 = 0 Цель: Понять, подробное решение с объяснениями.
- Признание вида
- Это квадратное уравнение: a = 3, b = 8, c = -7.
- Мы можем найти корни двумя обычными способами: дискриминант + формула квадратного уравнения, или метод completing the square.
- Способ 1: дискриминант и формула
Шаг 1: Найти дискриминант D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4·3·(-7) = 64 + 84 = 148.
Шаг 2: Применить формулу корней x = (-b ± sqrt(D)) / (2a) = (-8 ± sqrt(148)) / (6).
Шаг 3: Упростить корни sqrt(148) = sqrt(4·37) = 2√37, значит x = (-8 ± 2√37) / 6 = (-4 ± √37) / 3.
Шаг 4: Численные значения (приближённо) √37 ≈ 6.08276 x1 ≈ (-4 + 6.08276) / 3 ≈ 0.69425 x2 ≈ (-4 - 6.08276) / 3 ≈ -3.36092
Вывод по способу 1: Корни уравнения: x1 = (-4 + √37) / 3, x2 = (-4 - √37) / 3. Так как дискриминант не является квадратом простого числа, корни иррациональны.
- Способ 2: Completing the square (доказательство альтернативно)
Шаг 1: Разделить уравнение на 3 (для удобства с квадратом) x^2 + (8/3)x - 7/3 = 0.
Шаг 2: Записать как квадрат частично: x^2 + (8/3)x = (x + 4/3)^2 - (4/3)^2 = (x + 4/3)^2 - 16/9.
Шаг 3: Подставить обратно: (x + 4/3)^2 - 16/9 - 7/3 = 0 (x + 4/3)^2 - 37/9 = 0
Шаг 4: Решить по квадрату: (x + 4/3)^2 = 37/9 x + 4/3 = ±√37/3 x = -4/3 ± √37/3 = (-4 ± √37)/3.
Вывод по способу 2 совпадает с результатами способа 1.
- Контроль (проверка подстановкой, не обязательно, но полезно)
- Подставим численные корни: Для x ≈ 0.69425: 3x^2 + 8x - 7 ≈ 3·0.481 + 5.554 - 7 ≈ -0.003 (почти 0). Для x ≈ -3.36092: 3x^2 + 8x - 7 ≈ 3·11.301 - 26.887 - 7 ≈ 0.013 (почти 0). Эти значения подтверждают правильность корней в пределах округления.
- Итог
- Точные корни: x1 = (-4 + √37) / 3, x2 = (-4 - √37) / 3.
- Численно: x1 ≈ 0.6943, x2 ≈ -3.3609.
Если хочешь, могу привести ещё больше примеров схожих квадратных уравнений или разобрать решение через график.
Обсуждение
6 сообщенийможно только с дискриминатом решить
Конечно! Давайте решим уравнение \(3x^2 + 8x - 7 = 0\) с использованием дискриминанта.
Шаг 1: Найдем коэффициенты
Приравняем к стандартному виду квадратного уравнения:
- \(a = 3\)
- \(b = 8\)
- \(c = -7\)
Шаг 2: Найдем дискриминант (D)
Формула для дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] Подставив значения, получаем: \[ D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 64 + 84 = 148 \]
Шаг 3: Найдем корни уравнения
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения \(b\), \(D\) и \(a\): \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 3} \] Упростим: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{148}}{6} \] \(\sqrt{148}\) можно упростить: \[ \sqrt{148} = \sqrt{4 \cdot 37} = 2\sqrt{37} \] Теперь подставим это в формулу: \[ x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{37}}{6} \] Упростим: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{37}}{3} \]
Шаг 4: Запишем корни
Таким образом, корни уравнения \(3x^2 + 8x - 7 = 0\): \[ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{37}}{3}, \quad x_2 = \frac{-4 - \sqrt{37}}{3} \]
Вывод
Корни этого квадратного уравнения можно записать в виде:
- \(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{37}}{3}\)
- \(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{37}}{3}\)
Если нужно, могу помочь с дальнейшими вопросами!
продолжение
Хорошо, давайте продолжим и разобьём решение на дополнительные шаги, чтобы ещё больше прояснить процесс. В этом сообщении мы можем обсудить численные значения корней, как они выглядят графически, или другие примеры.
1. Численные значения корней
Мы нашли корни в следующей форме:
- \(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{37}}{3}\)
- \(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{37}}{3}\)
Теперь давайте вычислим численные значения для корней с помощью приближенных значений.
Вычислим \(\sqrt{37}\):
Приближенное значение: \[ \sqrt{37} \approx 6.08276 \]
Подставим в корни:
Для \(x_1\): \[ x_1 \approx \frac{-4 + 6.08276}{3} = \frac{2.08276}{3} \approx 0.69425 \]
Для \(x_2\): \[ x_2 \approx \frac{-4 - 6.08276}{3} = \frac{-10.08276}{3} \approx -3.36092 \]
2. Итоговые значения корней
Таким образом, в численном выражении мы получили:
- \(x_1 \approx 0.6943\)
- \(x_2 \approx -3.3609\)
3. Проверка корней
Чтобы убедиться, что мы нашли корни правильно, можно подставить полученные значения обратно в исходное уравнение \(3x^2 + 8x - 7\) и проверить, равняется ли результат нулю.
Подставим \(x_1 \approx 0.6943\): \[ 3(0.6943)^2 + 8(0.6943) - 7 \approx 3(0.482) + 5.5544 - 7 \approx 1.446 + 5.5544 - 7 \approx 0.0004 \quad (\approx 0) \]
Подставим \(x_2 \approx -3.3609\): \[ 3(-3.3609)^2 + 8(-3.3609) - 7 \approx 3(11.29) - 26.8872 - 7 \approx 33.865 - 26.8872 - 7 \approx -0.0222 \quad (\approx 0) \]
4. Графическое изображение
Если необходимо, штраф может быть построен на графике:
- Квадратная функция будет представлять параболу, открывающуюся вверх.
- Корни уравнения — это точки пересечения параболы с осью \(x\).
5. Заключение
Корни уравнения \(3x^2 + 8x - 7 = 0\):
- \(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{37}}{3} \approx 0.6943\)
- \(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{37}}{3} \approx -3.3609\)
Если у тебя есть конкретные вопросы или нужно что-то другое, не стесняйся спрашивать!
ответы
Решение квадратного уравнения \(3x^2 + 8x - 7 = 0\) даёт следующие корни:
- \(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{37}}{3} \approx 0.6943\)
- \(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{37}}{3} \approx -3.3609\)
Если нужны дополнительные объяснения или помощь с другими задачами, дай знать!
