3. Изобразите на плоскости множество точек, заданных неравенством 4x + y > 7

Цель: Понять и изобразить множество точек, удовлетворяющее неравенству 4x + y > 7.

Пошаговое решение и объяснение

1. Приведем неравенство к удобной форме

• 4x + y > 7 ⇒ y > 7 − 4x.
• Так получаем уравнение границы прямой: y = 7 − 4x, которая имеет наклон −4 и пересекает ось y в точке (0, 7).

2. Найдем точки пересечения прямой с осями

• y-пересечение (когда x = 0): y = 7 → точка (0, 7).
• x-пересечение (когда y = 0): 0 = 7 − 4x ⇒ x = 7/4 = 1.75 → точка (1.75, 0). Эти две точки можно использовать для построения прямой.

3. Как строить прямую на плоскости

• Постройте прямую L: y = 7 − 4x. Она проходит через (0, 7) и (1.75, 0).
• Так как неравенство строгой формы (>), границу не включают в множество, поэтому прямую рисуют штриховой (пунктирной).

4. Как заштриховать область

• Множество точек — это та полуплоскость, где y больше чем 7 − 4x, то есть всё пространство над прямой L.
• Заштриховывайте область выше этой штриховой прямой. Область под прямой не принадлежит множеству.

5. Проверка (для уверенности)

• Возьмём точку (0, 8): 4·0 + 8 = 8 > 7, значит эта точка принадлежит множеству (она над прямой).
• Точка (0, 7) лежит на прямой: 4·0 + 7 = 7, но неравенство требует > 7, поэтому эта точка не включена в множество.
• Точка на линии (2, −1) тоже лежит на границе: 4·2 + (−1) = 7 — не принадлежит, потому что нужна строгая больше.

6. Формальное описание множества

• Множество точек на плоскости: {(x, y) ∈ R^2 | y > 7 − 4x}.
• Граница: прямая y = 7 − 4x (штриховая, не включена в множество).

Коротко итог

• Прямая: y = 7 − 4x (через (0,7) и (1.75, 0)).
• Область: все точки над этой прямой (штриховка сверху).
• Не включаем границу, потому что неравенство строгое: >.

Если хотите, могу нарисовать схематическое изображение или помочь с координатной сеткой на бумаге.