3. Изобразите на плоскости множество точек, заданных неравенством 4x + y > 7

Цель: Понять и изобразить множество точек, удовлетворяющее неравенству 4x + y > 7. Пошаговое решение и объяснение 1) Приведем неравенство к удобной форме - 4x + y > 7 ⇒ y > 7 − 4x. - Так получаем уравнение границы прямой: y = 7 − 4x, которая имеет наклон −4 и пересекает ось y в точке (0, 7). 2) Найдем точки пересечения прямой с осями - y-пересечение (когда x = 0): y = 7 → точка (0, 7). - x-пересечение (когда y = 0): 0 = 7 − 4x ⇒ x = 7/4 = 1.75 → точка (1.75, 0). Эти две точки можно использовать для построения прямой. 3) Как строить прямую на плоскости - Постройте прямую L: y = 7 − 4x. Она проходит через (0, 7) и (1.75, 0). - Так как неравенство строгой формы (>), границу не включают в множество, поэтому прямую рисуют штриховой (пунктирной). 4) Как заштриховать область - Множество точек — это та полуплоскость, где y больше чем 7 − 4x, то есть всё пространство над прямой L. - Заштриховывайте область выше этой штриховой прямой. Область под прямой не принадлежит множеству. 5) Проверка (для уверенности) - Возьмём точку (0, 8): 4·0 + 8 = 8 > 7, значит эта точка принадлежит множеству (она над прямой). - Точка (0, 7) лежит на прямой: 4·0 + 7 = 7, но неравенство требует > 7, поэтому эта точка не включена в множество. - Точка на линии (2, −1) тоже лежит на границе: 4·2 + (−1) = 7 — не принадлежит, потому что нужна строгая больше. 6) Формальное описание множества - Множество точек на плоскости: {(x, y) ∈ R^2 | y > 7 − 4x}. - Граница: прямая y = 7 − 4x (штриховая, не включена в множество). Коротко итог - Прямая: y = 7 − 4x (через (0,7) и (1.75, 0)). - Область: все точки над этой прямой (штриховка сверху). - Не включаем границу, потому что неравенство строгое: >. Если хотите, могу нарисовать схематическое изображение или помочь с координатной сеткой на бумаге.