x⁴+7x²-18=0

Задача: x^4 + 7x^2 - 18 = 0

Цель: понять решение по шагам и объяснить логику.

1. Приведение к уравнению с одной переменной

• Это уравнение квадратное относительно x^2. Пусть y = x^2. Тогда получаем: y^2 + 7y - 18 = 0

2. Решение квадратного уравнения по факторизации

• Найдём пары чисел, произведение которых равно -18, сумма 7: 9 и -2.
• Следовательно, y^2 + 7y - 18 = (y + 9)(y - 2) = 0.

3. Корни по y

• y = -9 или y = 2.

4. Возвращаемся к x

• Так как y = x^2, имеем:
  • x^2 = -9 ⇒ для действительных чисел решения отсутствуют (x = ±3i в комплексной области).
  • x^2 = 2 ⇒ x = ±√2.

5. Ответы

• Действительные корни: x = √2 и x = -√2.
• Комплексные корни (если учитывать комплексные числа): x = 3i, x = -3i.
• Также можно проверить через разложение: x^4 + 7x^2 - 18 = (x^2 + 9)(x^2 - 2). Это даёт те же корни.

Пояснение по выбору метода:

• Уравнение легко решить через замену y = x^2 или через прямое разложение на множители: (x^2 + 9)(x^2 - 2) = 0.
• Для школьной задачи чаще достаточно найти действительные корни: x = ±√2.