Х²+2х-8/х²-2х-3>0

Задача: (x^2 + 2x - 8) / (x^2 - 2x - 3) > 0 Важно: считаем по умолчанию, что выражение записано как дробь с числителем x^2 + 2x - 8 и знаменателем x^2 - 2x - 3. Если grouping другое, скажи — пересчитаю. Пошаговое решение: 1) Факториал числителя и знаменателя - x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2) - x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) Итак задача превращается в ( (x + 4)(x - 2) ) / ( (x - 3)(x + 1) ) > 0. 2) Область определения Знаменатель не должен равняться нулю: x ≠ 3 и x ≠ -1. 3) Точки разрыва и нулей числителя - Нули числителя: x = -4 и x = 2. В них числитель обращается в ноль, поэтому само выражение равно 0, что не удовлетворяет условию > 0. Эти точки исключаем из решения. - Точки разрыва знаменателя: x = -1 и x = 3. В этих точках выражение не определено. 4) Разбиение на интервалы и проверка знака Ключевые точки: -4, -1, 2, 3. Интервалы: (-∞, -4), (-4, -1), (-1, 2), (2, 3), (3, ∞) Проверяем знак на каждом интервале подставляя произвольное значение: - Для x = -5: (x+4)(x-2) > 0? (-1)(-7) = +; (x-3)(x+1) > 0? (-8)(-4) = +; отношение +/ + = + Значит на (-∞, -4) выражение положительно. Включать не будем - в -4 значение ноль. - Для x = -2: числитель (2)(-4) = -; знаменатель (-5)(-1) = +; отношение - / + = - Отрицательно. Не подходит. - Для x = 0: числитель (4)(-2) = -; знаменатель (-3)(1) = -; отношение - / - = + Положительно. Подходит (учитывая, что -1 и 2 исключаемы/не включаем). - Для x = 2.5: числитель (6.5)(0.5) > 0; знаменатель (-0.5)(3.5) < 0; отношение >0 ? + / - = - Отрицательно. Не подходит. - Для x = 4: числитель (8)(2) > 0; знаменатель (1)(5) > 0; отношение > 0. Подходит. 5) Итог решения Учитывая исключения x ≠ -1, x ≠ 3, и что точки -4 и 2 не входят (при > 0), получаем набор решений: (-∞, -4) ∪ (-1, 2) ∪ (3, ∞) Проверка итогов: - В примере x = 0 даёт (-8)/(-3) ≈ 2.67 > 0, что подтверждает промежуток (-1, 2). - В примере x = 4 даёт положительное значение, что подтверждает (3, ∞). - На промежутке (-4, -1) значение отрицательное, как и ожидалось. Ответ: (-∞, -4) ∪ (-1, 2) ∪ (3, ∞)