В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны и меньшее основание равны 2. Большее основание AD = 4. H – точка пересечения продолжения боковых сторон. SH перпендикулярно плоскости трапеции. Докажите, что AC перпендикулярно SCD. Найдите площадь SCD, если SH = 8.

Решение приводится в общем виде в координатной системе, чтобы наглядно проверить условия и вычислить искомое. Исходные данные (переформулировка): - В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны AB, CD и меньшая база BC равны 2, большая база AD = 4. - H — точка пересечения продолжений боковых сторон AB и CD. - S — точка над H так, что SH ⟂ плоскости трапеции и SH = 8. - Нужно показать AC ⟂ плоскости SCD и найти площадь треугольника SCD. 1) Координатное размещение трапеции ABCD в плоскости z = 0 Положим A = (0, 0, 0), D = (4, 0, 0). Пусть BC равно основанию меньшей базы и расположено выше, центрируя трапецию симметрично вокруг x = 2. Пусть B = (1, h, 0), C = (3, h, 0). Тогда BC = 2 и горизонтальные смещения соответствуют равенству боковых сторон AB = CD = 2. Разности координат: - AB^2 = (1−0)^2 + (h−0)^2 = 1 + h^2 = 4 ⇒ h^2 = 3 ⇒ h = √3. - CD^2 = (4−3)^2 + (0−h)^2 = 1 + h^2 = 4 (то же условие). Итак, координаты вершин трапеции: A = (0, 0, 0), B = (1, √3, 0), C = (3, √3, 0), D = (4, 0, 0). 2) Найдём точку H — пересечение продолжений боковых сторон AB и CD Уравнение прямой AB: через A и B, в плоскости z = 0 получается y = √3 x. Уравнение прямой CD: через C и D, наклон −√3, перепишем в виде y = −√3 x + 4√3. Пересечение (AB) ∩ (CD): √3 x = −√3 x + 4√3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2. Тогда y = √3·2 = 2√3. Следовательно, H = (2, 2√3, 0). 3) Точка S и вектор SH SH ⟂ плоскости трапеции, значит S имеет те же координаты по x,y, но с высотой z = SH. SH = 8, значит S = (2, 2√3, 8). 4) Доказательство, что AC ⟂ плоскости SCD Пусть AC — вектор from A к C: AC = C − A = (3, √3, 0). Построим два вектора, лежащие в плоскости SCD и исходящие в точке C: - CD = D − C = (4−3, 0−√3, 0−0) = (1, −√3, 0). - CS = S − C = (2−3, 2√3−√3, 8−0) = (−1, √3, 8). AC ⟂ плоскости SCD тогда, когда AC ⟂ любому двум неколлинеарным векторам плоскости SCD, например CD и CS. Проверяем скалярные произведения: - AC · CD = (3)(1) + (√3)(−√3) + (0)(0) = 3 − 3 = 0. - AC · CS = (3)(−1) + (√3)(√3) + (0)(8) = −3 + 3 = 0. Оба скалярных произведения равны нулю, значит AC перпендикулярно и CD, и CS, следовательно AC ⟂ плоскости SCD. 5) Площадь треугольника SCD Используем векторное произведение для треугольника с вершинами S, C, D. Возьмём векторы SC и SD: - SC = C − S = (3−2, √3−2√3, 0−8) = (1, −√3, −8). - SD = D − S = (4−2, 0−2√3, 0−8) = (2, −2√3, −8). Пусть N = SC × SD. Найдём модуль N: SC × SD = |i j k| |1 −√3 −8| |2 −2√3 −8| Вычислим: - i-компонента: (−√3)(−8) − (−8)(−2√3) = 8√3 − 16√3 = −8√3. - j-компонента: (−8)(2) − (1)(−8) = −16 + 8 = −8. При записи через стандартную формулу получаем −8 для второй компоненты. - k-компонента: (1)(−2√3) − (−√3)(2) = −2√3 + 2√3 = 0. Таким образом, SC × SD = (−8√3, −8, 0). Её модуль: |SC × SD| = sqrt((−8√3)^2 + (−8)^2 + 0^2) = sqrt(64·3 + 64) = sqrt(256) = 16. Площадь треугольника SCD = 1/2 · |SC × SD| = 1/2 · 16 = 8. Ответы: - AC ⟂ плоскости SCD. - Площадь треугольника SCD равна 8.