X³+2x²-5x-6=0

Задача: x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0 Цель: понять решение с пошаговым объяснением. Шаги решения 1) Поиск рациональных корней - Возможные рациональные корни: делители свободного члена 6, т.е. ±1, ±2, ±3, ±6 (по теореме рациональных корней). - Проверяем значения: - P(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0 - Значит x = -1 является корнем. 2) Деление полинома на (x + 1) - Делим x^3 + 2x^2 - 5x - 6 на (x + 1). Можно сделать коктейль синтетического деления. Синтетическое деление (корень -1): - Коэффициенты: 1, 2, -5, -6 - Спуск: 1 - 1*(-1) = -1; 2 + (-1) = 1 - 1*(-1) = -1; -5 + (-1) = -6 - (-6)*(-1) = 6; -6 + 6 = 0 Итак, остаток 0, деление даёт квадратный коэффициент: x^2 + x - 6. 3) Разложение квадратика - x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) 4) Полное разложение и корни уравнения - x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 1)(x + 3)(x - 2) - Корни: x = -1, x = -3, x = 2 Проверка - Подстановка в исходное уравнение: - P(-1) = 0 (как нашли) - P(-3) = (-27) + 18 + 15 - 6 = 0 - P(2) = 8 + 8 - 10 - 6 = 0 Ответ: x ∈ { -3, -1, 2 }