x³+2x²-5x-6=0

Задача: x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0

Цель: понять решение с пошаговым объяснением.

Шаги решения

1. Поиск рациональных корней

• Возможные рациональные корни: делители свободного члена 6, т.е. ±1, ±2, ±3, ±6 (по теореме рациональных корней).
• Проверяем значения:
  • P(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0
  • Значит x = -1 является корнем.

2. Деление полинома на (x + 1)

• Делим x^3 + 2x^2 - 5x - 6 на (x + 1). Можно сделать коктейль синтетического деления.

Синтетическое деление (корень -1):

• Коэффициенты: 1, 2, -5, -6
• Спуск: 1
• 1*(-1) = -1; 2 + (-1) = 1
• 1*(-1) = -1; -5 + (-1) = -6
• (-6)*(-1) = 6; -6 + 6 = 0

Итак, остаток 0, деление даёт квадратный коэффициент: x^2 + x - 6.

3. Разложение квадратика

• x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)

4. Полное разложение и корни уравнения

• x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 1)(x + 3)(x - 2)
• Корни: x = -1, x = -3, x = 2

Проверка

• Подстановка в исходное уравнение:
  • P(-1) = 0 (как нашли)
  • P(-3) = (-27) + 18 + 15 - 6 = 0
  • P(2) = 8 + 8 - 10 - 6 = 0

Ответ: x ∈ { -3, -1, 2 }