корень из 7

Задача: найти корень из 7, то есть sqrt(7).

Ключевые моменты

• Определение: sqrt(7) — такое число x, что x^2 = 7.
• sqrt(7) не является рациональным числом, потому что 7 не является квадратом целого числа. Это иррациональное число. Краткое доказательство (от противного): если sqrt(7) = p/q в несократимой дроби, то 7q^2 = p^2. Значит p^2 делится на 7, значит и p делится на 7. Пусть p = 7k, тогда 7k^2 = q^2, значит q тоже делится на 7. Получаем противоречие with несократимой дробью. Поэтому sqrt(7) иррационально.
• Эта величина лежит между квадратами целых: 2^2 = 4 и 3^2 = 9, поэтому 2 < sqrt(7) < 3.

Промежуточная оценка

• Выберем числа 2.64 и 2.65:
  • 2.64^2 = 6.9696
  • 2.65^2 = 7.0225 Следовательно, sqrt(7) находится между 2.64 и 2.65.
• Уточнение: 2.645^2 ≈ 6.9960, 2.646^2 ≈ 7.0013. Таким образом, sqrt(7) находится между 2.645 и 2.646.
• Примерная десятичная аппроксимация: sqrt(7) ≈ 2.64575.

Метод Ньютона для более точного приближения

• Формула метода Ньютона для sqrt(7): x_{n+1} = (x_n + 7/x_n) / 2.
• Выберем начальное приближение x0 = 2.65.
  • x1 = (2.65 + 7/2.65)/2 ≈ 2.6457547
  • x2 = (2.6457547 + 7/2.6457547)/2 ≈ 2.64575131 Итог: sqrt(7) ≈ 2.64575 (до 5 знаков после запятой). Если продолжать, значение сходится к 2.64575131...

Итог

• Точное представление: sqrt(7).
• Иррациональность: sqrt(7) не выражается как конечная или повторяющаяся десятичная дробь.
• Приближенное значение (полезно в расчётах): sqrt(7) ≈ 2.64575.