Прямая арка перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М - середина отрезка ВС. Докажите, что МК перпендикулярна ВС

Решение предполагает, что прямая AR перпендикулярна плоскости ABC и проходит через точку A (поскольку A лежит в плоскости ABC, прямая AR, проходящая через A, пересекает плоскость именно в A). Обозначим через K точку пересечения прямой AR с плоскостью ABC. Тогда K = A.

Доказательство

1. Так как AR перпендикулярна плоскости ABC и проходит через A, точка пересечения AR с плоскостью — это A. Значит K = A, и MK = MA.

2. Треугольник ABC равносторонний (A, B, C — вершины правильного треугольника). В таком треугольнике AB = AC, а M — середина отрезка BC, то MB = MC.

3. Рассмотрим треугольники ABM и ACM. У них:

   • AB = AC (из равносторонности),
   • MB = MC (M — середина BC),
   • AM общая сторона.

   По признаку равенства треугольников по сторонам (SSS) эти triangles ABM и ACM равны.

4. Из равенства треугольников ABM и ACM следует, что углы ∠BMA и ∠AMC равны. Но B, M, C лежат на одной прямой BC, поэтому углы ∠BMA и ∠AMC являются смежными по BC и в сумме дают 180°. Значит каждый из них равен 90°. Следовательно AM ⟂ BC.

5. Так как MK = MA и AM ⟂ BC, получаем MK ⟂ BC.

Итак, MK перпендикулярна BC.