Доказать, что синус квадрат + косинус, квадрат равен единице.

Задача: доказать, что sin^2 x + cos^2 x = 1 для любого x. Ниже приведу три поэтапных доказательства. Все они подходят для средней школы и не зависят от конкретного значения x. Доказательство 1. Геометрическое на единичной окружности 1) Рассмотрим единичную окружность: радиус равен 1. Точка, соответствующая углу x в стандартном положении, имеет координаты (cos x, sin x). 2) Отрезок от начала координат до этой точки образует радиус длиной 1. 3) По теореме Пифагора для треугольника с гипотенузой 1 и катетами cos x и sin x получаем: (cos x)^2 + (sin x)^2 = 1^2 = 1. 4) Следовательно, sin^2 x + cos^2 x = 1. Доказательство 2. Через формулы двойного угла 1) Из формулы косинуса двойного угла имеем косинус-двойного-угла: cos 2x = cos^2 x - sin^2 x. 2) Поскольку sin^2 x + cos^2 x = 1, можно выразить каждую из степеней через cos 2x: cos^2 x = (1 + cos 2x)/2, sin^2 x = (1 - cos 2x)/2. Это следует из решений линии cos 2x = cos^2 x - sin^2 x вместе с тем, что cos^2 x + sin^2 x = 1. 3) Сложим полученные выражения: sin^2 x + cos^2 x = (1 - cos 2x)/2 + (1 + cos 2x)/2 = (1 + 1)/2 = 1. 4) Таким образом, sin^2 x + cos^2 x = 1 для любого x. Доказательство 3. Прямое использование тригонометрических оснований (многоступенчатое) 1) Из двух основных тождеств полезно помнить: cos 2x = cos^2 x - sin^2 x и sin^2 x + cos^2 x = 1. 2) Выразим cos^2 x из первого тождества: cos^2 x = (1 + cos 2x)/2. А выразим sin^2 x из второй и первого тождеств: sin^2 x = 1 - cos^2 x. 3) Подставим cos^2 x в выражение для sin^2 x: sin^2 x = 1 - (1 + cos 2x)/2 = (1 - cos 2x)/2. 4) Сумма: sin^2 x + cos^2 x = (1 - cos 2x)/2 + (1 + cos 2x)/2 = 1. 5) Значит, sin^2 x + cos^2 x = 1 для любого x. Итог: независимо от выбранного подхода, для любого действительного x выполняется равенство sin^2 x + cos^2 x = 1. Это одно из базовых тригонометрических тождеств.