Найдите периметр параллелограма, если биссектриса одного из его углов делит сторону паралелограма на отрезки 7 см и 14 см
Задача: параллелограмм, биссектриса одного угла делит сторону на отрезки 7 см и 14 см. Найдите периметр.
Обозначения:
- Пусть AB = a, AD = b. Поскольку CD ∥ AB и равно по длине AB, то CD = a.
- Отрезки на стороне CD суммарной длины дают a = 7 + 14 = 21 см.
Цель: найти b (и затем периметр P = 2(a + b)).
Разбор решения (пошаговый):
Введём координаты. Пусть A = (0, 0), B = (a, 0) = (21, 0). Пусть D = (p, q) так, что длина AD равна b: b^2 = p^2 + q^2. Тогда C = B + D = (a + p, q) = (21 + p, q). Линия CD горизонтальна (из-за параллельности AB и CD), её высота y равна q, и CD имеет длину a = 21.
Биссектор угла BAD — направление линии AE. Направление биссектора равно сумме единичных векторов вдоль AB и AD. Это даёт вектор направления v = (1, 0) + (p/b, q/b) = (1 + p/b, q/b). Параметрически пройдём вдоль биссектрисы: E(t) = A + t v = (t(1 + p/b), t(q/b)).
Точка E лежит на стороне CD, Where y = q. Значит t(q/b) = q ⇒ t = b. Тогда x-координата E равна x_E = b(1 + p/b) = b + p. Значит E = (p + b, q).
Длины DE и EC вдоль стороны CD:
- DE — расстояние от D(p, q) до E(p + b, q) вдоль CD: DE = b.
- EC — расстояние от E до C(a + p, q) = (21 + p, q): EC = (21 + p) − (p + b) = 21 − b.
По условию DE:EC = 7:14 = 1:2. Следовательно b:(21 − b) = 1:2 ⇒ 2b = 21 − b ⇒ 3b = 21 ⇒ b = 7.
Найдём периметр:
- AB = a = 21 см, AD = b = 7 см.
- Периметр P = 2(a + b) = 2(21 + 7) = 56 см.
Ответ: 56 см. Примечание: порядок отрезков 7 и 14 не влияет на результат; в любом случае получаем a = 3b и, зная a = 21, получаем b = 7.
